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时间:2020-05-16
《韩国平考研串讲之定积分.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、CH5定积分(15~18)一、重要概念、公式(一)定积分的定义及几何意义1、2、几何解释注:,只与积分区间和被积函数有关,而与自变量用哪个字母表示无关.3、定积分的存在性:如果在上连续,或有界且只有有限个第一类间断点,则存在.(二)定积分的性质1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和;2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外;3、定积分具有区间可加性;4、如果,则;5、如果在上连续,且分别为其最小值、最大值,则;6、;7、定积分中值定理:如果上连续,则在内至少存在一点,使;(三)定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导:如果在相应区间上连续,可导,
2、则。注:连续函数一定存在原函数如连续,则即为其原函数2、牛顿—莱布尼兹公式如果函数是连续函数在上的一个原函数,则:注:此公式说明要求定积分两步:(1)求原函数;(2)代公式3、换元积分法如果函数在区间上连续,函数满足:(1);(2)在或上具有单调连续导数且其值域,则注:(1)定积分的换元积分法换元必换限,换后接着算。下限对应下限,上限对应上限(2)条件,单调可导4、分部积分法注:边运算边代值(四)常用公式1、2、如果为周期为的周期函数,则,3、4、5、6、积分不等式平方的积分结构(五)定积分的应用1、平面图形面积:;;;2、旋转体的体积:;;;;;3、平面曲线的
3、弧长:(1);(2);(3);4、变力作功5、静液压力6、引力7、平均值(六)广义积分(1)无穷区间;(2)无界函数二、重要考点1、计算定积分其步骤:(1)确定区间的对称性及被积函数的奇偶性、周期性.(2)运用定积分的性质及换元积分法和分部积分法进行计算.1.2.计算积分.解原式===.3积分的值是[D](A)0(B)(C)8(D)4设求解:此题被积函数含可变限函数,因此利用分部积分原式=5.满足方程的连续函数(x)=7.设函数满足且则.2、变上限求导问题一般步骤:(1)作代换并化简整理(2)能提出先提出(3)运用求导法则3、定积分等式证明(1)考虑换元积分,根
4、据被积函数的结构特点和积分区间确定代换。(2)分部积分假设在上连续,为偶函数,且满足条件(为常数)(1)证明;(2)利用(1)的结论计算定积分4、积分不等式的证明:常用方法:(1)考虑被积函数的最大、小值,然后利用估值定理;(2)对被积函数作适当放大,缩小然后运用估值定理;(3)运用积分中值定理及柯西公式。(1)中值定理(2)积分公式设在上连续,且单调增加,证明:证:令所以单调增加,故当时,,5、平面图形的面积:先画图后计算6、旋转体的体积:已知曲线与直线,且曲线在上与轴所夹部分面积为,将绕轴旋转所得立体的体积为,直在上与轴所夹面积为,将绕轴旋转所得立体体积为,
5、已知,求的值,使最小5.解由题意知由所以当时,取极小值,也是最小值7、平面曲线的弧长:8、求变力做功、静液压力、引力9、广义积分求广义积分的步骤(1)确定类型(无穷,无界)(2)求定积分(3)求极限计算10判定广义积分敛散性(多项式商式)a、确定b、a、确定的分母分子中x-a的最低次数的差p.b、由p与1的关系给出结论.发收敛.Ch6空间解析几何(2~6)一、重要考点1、向量的运算:2.求曲面方程:其步骤为(1)在曲面上任取一点(2)由此点所满足的条件建立方程3、求平面方程(1)4求直线方程:CH7多元函数微分学(8~14)一、重要概念、公式多元函数的偏导数及复
6、合函数偏导数、隐函数求导法1、偏导数:设函数在点的某一邻域内有定义,如果极限存在,则称此极限为在点处对的偏导数,记作:注:(1)分段函数分段点的偏导数必用定义;(2)偏导与连续之间无关;(3)为一整体符号;(4)从几何上解释为曲面与的交线在处的切线与轴夹角正切。2、高阶偏导数:若函数的二阶混合偏导数和都在点连续,则注意:条件高阶偏导连续相等。3、全微分:(1)如果函数在点处的全增量可表示为,其中不依赖于,,则称处可微,此时叫作在点处的全微分,记作,即;注:①全微分是自变量与的线性函数;②全微分与全增量之差,当时,是比高阶无穷小;③可微连续;④可微偏导,连续、偏导
7、是可微的必要条件、(2)必要条件:若函数在点处可微,即在点的全增量可表示成,则,都存在。且(3)充分条件:若函数的两个偏导数在点处连续,则函数在点处可微。4、复合函数微分法:如果在对应点处可微,且的偏导数都存在,则复合函数在点对的偏导数存在,且;设具有连续偏导数,也具有连续偏导数,则复合函数在点处的全微分为:;全微分的运算公式:;(c为常数);;;。5、隐函数及其微分法(三)偏导数的应用1、空间曲线的切线与法平面:(1)曲线:,其中,,都是可导函数,且不全为0,则切线方程为:,法平面方程为:;(2)曲线:切线方程为:,法平面方程为:;(3)曲线:切线方程为:,法
8、平面方程为:2、空间曲面
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