考研数学高数5定积分

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1、第五讲：定积分定积分的概念：设上有界1）任意分割：2）作乘积：任取，作乘积3）作和式：4）取极限：若不管如何分割，如何选取，当时，上述极限如果存在，则称在上是可积的，并称此极限值为上的定积分，记为我们规定：函数可积的条件：充分条件：若满足下列条件之一，则上可积：1、上连续；2、只有有限个间断点的有界函数3、单调函数必要条件：若上可积，则在上一定有界。定积分的几何意义：设上可积（1）若，则（1）若，则（2）若有正有负，则例：1、用定义计算积分;2、利用定积分表示下列和式的极限：（1）（2）3、利用几何意义求积分4、比较大小：

2、定积分的性质：设在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1（线性性）推论：性质2（区间可加性）性质3（保号性）若性质4（保不等式性）若性质5（绝对可积性及绝对值不等式）性质6（估值不等式）积分中值定理：若ƒ(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使微积分基本定理：变上限积分函数：设ƒ(x)在[a，b]上可积，则对于每一个[a，b]，定积分都有唯一确定的值与之对应，由此可以定义函数：这是一个定义在[a，b]上的函数，称为积分变上限函数。注:中x是积分上限变量,在[a，b]上变化;t是积分变量,在[a，x]上变化。

3、变上限积分函数求导定理：若ƒ(x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有注1.F(x)也一定连续.2.F(x)是ƒ(x)在上的一个原函数.3.此定理也证明了连续的原函数一定存在.例：求牛顿-莱布尼兹公式：若ƒ(x)在[a,b]上连续，Ф（x）是ƒ(x)的任意一个原函数，则有说明：等于ƒ(x)的任一个原函数在[a，b]上的增量例：定积分的换元积分法与分部积分法第一类换元积分法（凑微分法）：（不定积分）（定积分）例：第二类还原积分：（不定积分）其中：具有连续的导数（定积分）其中：（1），，（2）具有连续的导

4、数，且与不定积分类似，常用：例：计算下列定积分：换元积分法：（不定积分）（定积分）条件：在[a，b]上具有连续导数例：计算：其他结论：一、设在上可积，则有：二、设是一个以Ｔ为周期的可积函数，则有例：函数在上有定义，且单调不增，证明：对于任何有.设函数在上连续可微，证明：设在区间上连续且单增，求证：