考研数学高数定积分复习资料讲义.doc

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1、公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为，求上物体走过的路程。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则2、曲边梯形的面积—设曲线，由及轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则。二、定积分理论（一）定积分的定义—设为上的有界函数，（1）取，，其中；（2）任取，作；（3）取，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。【注解】（1）极限与区间的划分及的取法无关。【例题】当时，令，对，情形一：取所有，则；情形二：取所有，则，所以极限不存在，于是在上不可积。（2），反之不对。分法：等分，即，；取

2、法：取或，则。则。【例题1】求极限。【解答】。【例题2】求极限【解答】。三、定积分的普通性质1、。2、。3、。4、。5、设，则。【证明】，因为，所以，又因为，所以，于是，由极限保号性得，即。（1）。（2）设，则。6（积分中值定理）设，则存在，使得。四、定积分基本理论定理1设，令，则为的一个原函数，即。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。（2），。（3）。【例题1】设连续，且，求。【解答】，，。【例题2】设为连续函数，且，求。【解答】，。定理2（牛顿—莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。【证明】由得，从而，于是，注意到，所以，即。五、定积分的积分法（一）换元

3、积分法—设，令，其中可导，且，其中，则。（二）分部积分法—。六、定积分的特殊性质1、对称区间上函数的定积分性质设，则（1）则。（2）若，则。（3）若，则。【例题1】设，其中为偶函数，证明：。【解答】。（2）计算。【解答】，因为，所以，取得，于是。2、周期函数定积分性质设以为周期，则（1），其中为任意常数（周期函数的平移性质）。如。（2）。3、特殊区间上三角函数定积分性质（1）设，则，特别地，，且。【例题1】计算。【解答】。【例题2】计算。【解答】。研数学导学班辅导讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。特殊矩阵有（1）零矩

4、阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。我想，每一次都推荐一下对大家都非常有用的信息，只推荐三个有用的，其他的我觉得都没什么意思，每一次推荐都不容易，希望大家珍惜。大家有选择性的看，都是个人觉得非常好的。一切都做了，离成功就近了，好运与机遇就会降临。请大家多关注，我常常会推荐一些很好用的东西给大家。1、

5、推荐快速学习一下思维导图法与快速阅读法，对理解与记忆的帮助十分之大，里面有针对考研版本，对于时间不够用，效率低的同学特别适用，本人切身体验，没用不会推荐希望对大家也有帮助！建议练上30小时足矣。3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：，则。（2）数与矩阵之积：。（3）矩阵与矩阵之积：设，则，其中（）【注解】（1）不一定有或。（2）矩阵乘法没有交换律。（3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。（4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。二、方程组的矩阵形式及解的概况方程组的基本形式为（1）称（1）为齐次线性方程组。（2）称（2）为非齐线性

6、方程组。令，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：（1）及（2）对方程组（1）：【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。对方程组（2）：【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题3】讨论方程组解的情况，并分析原因。三、矩阵问题的产生初一数学问题：解一元一次方程情形一：当时，两边同时乘以得，于是；情形二：当时，方程无解；情形三：当时，方程有无数个解。线性方程组的类似问题：讨论方程组的解情形一：是阶方阵，且存在，使得由两边左乘得，于是；情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得

7、方程组是否有解及解的情况；情形三：是矩阵，且方程组是否有解及解的情况。【注解】（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。四、矩阵两大核心为题（一）逆阵1、定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。2、两个问题【问题1】给定一个阶矩阵，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？【问题2】若阶矩阵可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？3、矩阵可逆充分必要条件定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。4、求矩阵逆阵的方法方法一：伴随矩阵法（略）方法二：

8、初等变换法第一步方程组的