2013考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

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1、北京世纪文都教育科技发展有限公司课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日北京世纪文都教育科技发展有限公司公开课二：定积分理论

2、一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为v=v(t)，求t∈[a,b]上物体走过的路程。（1）取a=t

3、=[x,x]∪[x,x]∪⋯∪[x,x]，01n0112n−1n其中∆x=x−x(1≤i≤n)；iii−1n（2）任取ξi∈[xi−1,xi](1≤i≤n)，A≈∑f(ξi)∆xi；i=1n（3）取λ=max{∆xi}，则A=lim∑f(ξi)∆xi。1≤i≤nλ→0i=1二、定积分理论旺旺：韩圆圆1shop35250918.taobao.com（一）定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，（1）取a=x

4、xi−1,xi](1≤i≤n)，作∑f(ξi)∆xi；i=1n（3）取λ=max{∆xi}，若lim∑f(ξi)∆xi存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)1≤i≤nλ→0i=1nbb在[a,b]上的定积分，记∫af(x)dx，即∫af(x)dx=lim∑f(ξi)∆xi。λ→0i=1北京世纪文都教育科技发展有限公司【注解】（1）极限与区间的划分及ξ的取法无关。i⎧1,x∈Qn【例题】当x∈[a,b]时，令f(x)=⎨，对lim∑f(ξi)∆xi，⎩0,x∈RQλ→0i=1nn情形一：取所有ξi∈Q(1≤i≤n)，则lim∑f(ξi)∆xi=lim∑

5、∆xi=b−a；λ→0λ→0i=1i=1n情形二：取所有ξi∈RQ(1≤i≤n)，则lim∑f(ξi)∆xi=0，λ→0i=1n所以极限lim∑f(ξi)∆xi不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。λ→0i=1（2）λ→0⇒n→∞，反之不对。112n−1n1分法：等分，即[0,1]=[0,]∪[,]∪⋯∪[,]，∆x=(1≤i≤n)；innnnnni−1i取法：取ξ=或ξ=(1≤i≤n)，则iinnnn11i1i−1∫f(x)dx=lim∑f()=lim∑f()。0n→∞ni=1nn→∞ni=1nnbb−ai则∫f(x)dx=lim∑f[a+(b−a)]。an

6、→∞ni=1nn12i【例题1】求极限lim∑1+。n→∞ni=1nn12i1【解答】lim∑1+=∫1+2xdx。n→∞ni=1n0111【例题2】求极限lim(++⋯+)n→∞222222n+1n+2n+n111【解答】lim(++⋯+)。n→∞222222n+1n+2n+n11111dx=lim[++⋯+]=∫n→∞n12n0+x222211+()1+()1+()nnn三、定积分的普通性质北京世纪文都教育科技发展有限公司bbb1、∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。aaabb2、∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。aabcb3、∫f(

7、x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx。aacb4、∫dx=b−a。ab5、设f(x)≥0(a≤x≤b)，则∫f(x)dx≥0。anb【证明】∫f(x)dx=lim∑f(ξi)∆xi，aλ→0i=1因为f(x)≥0，所以f(ξ)≥0，in又因为a0，于是∑f(ξi)∆xi≥0，由极限保号性得i=1nblim∑f(ξi)∆xi≥0，即∫f(x)dx≥0。λ→0ai=1bb（1）∫f(x)dx≤∫

8、f(x)

9、dx(a≤b)。aabb（2）设f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫f(x)dx≤∫g(x)dx。aab6（积分中值定理）设f(x)∈C[