考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤

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1、考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。2、事件的和—事件A

2、或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+B。3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A-B。（三）事件的关系1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为AÌB。若AÌB且BÌA，称两事件相等，记A=B。2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB=f，称事件A,B不相容或互斥。3、对立事件—若AB=f且A+B=Ù称事件A,B为对立事件。【注解】（1）A=(A-B)+AB，且A-B与AB互斥。（2）A+B=(A-B)+(B-A)+AB，且A-B,B-A,AB两两互

3、斥。（四）事件运算的性质1、（1）ABÌA(或B)ÌA+B；（2）AB=BA,A+B=B+A；2、（1）AÈA=A,AÇA=A；（2）AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC),AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC)；3、（1）A=(A-B)ÈA；（2）(A-B)ÇA=A-B；（3）A+B=(A-B)ÈABÈ(B-A)。4、（1）A+A=Ù；（2）AÇA=f。二、概率的定义与性质（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为Ù，满足如下条件的随机事件的函数P(·)称为所对应事件的概率：18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤1、

4、对事件A，有P(A)³0（非负性）。2、P(Ù)=1（归一性）。¥¥3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P(UAn)=åP(An)（可列可加性）。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤（二）概率的基本性质1、P(f)=0。n=1n=118考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤nn2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P(UAk)=åP(Ak)。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤k=1k=118考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤3、P(A)=1-P(A)。4、（减法公式）P(

5、A-B)=P(A)-P(AB)。（三）概率基本公式1、加法公式（1）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。（2）P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。2、条件概率公式：设A,B是两个事件，且P(A)>0，则P(B

6、A)=P(AB)。P(A)3、乘法公式（1）设P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B

7、A)。（2）P(A1A2LAn)=P(A1)P(A2

8、A1)P(A3

9、A1A2)LP(An

10、A1A2LAn-1)。三、事件的独立性1、两个事件的独立—

11、设A,B是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，称事件A,B相互独立。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤⎪⎧P(AB)=P(A)P(B);⎨2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若⎪P(AC)=P(A)P(C);⎪P(BC)=P(B)P(C);⎪⎩P(ABC)=P(A)P(B)P(C),，称事件A,B,C相互独立。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤【注解】18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B、A,B、A,B任何一对相互独立。18考研数学基础班概率统计讲

12、义—汤家凤（2）设P(A)=0或P(A)=1，则A与任何事件B独立。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤（3）设P(A)>0,P(B)>0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：（1）AiAj=f(i,j=1,2,L,n,i¹j)；18考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤n（2）UAi=Ù，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。i=12、全概率公式：设A1,A2,L,

13、An是一个完备事件组，且P(Ai)>0(i=1,2,L,n)，B为事件，则nP(B)=åP(Ai)P(B

14、Ai)。i=13、贝叶斯公式：设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P(Ai)>0(i=1,2,L,n)，B为任一随机事件，P(B)>0，则P(A

15、B)=P(Ai)P(B

16、Ai)。iP(B)例题选讲一、填空题1、设P(A)=0.4,P(