考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

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1、实用文档第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1．求下列极限：（1）；（2）；（3）；2．求下列极限：（1）；3．求下列极限：（1）；（2）；（3）。类型二：利用重要极限求极限的问题1．求下列极限：（1）；（2）；2．求下列极限：（1）；（3）；（4）；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）；（2）；文案大全实用文档（3）；（4）；（5）；（6）设，求。2．求下列极限：类型四：极限存在性问题：1．设，证明数列收敛，并求。2．设在上单调减少、非负、连续，，证明：存在。类型五：

2、夹逼定理求极限问题：1．求；2．；3．。类型六：含参数的极限问题：1．设，求；2．设，求；类型七：中值定理法求极限：1、；2、。类型八：变积分限函数求极限：1、。文案大全实用文档2、设连续，且，则。二、连续与间断的判断1．设，讨论函数在处的连续性。2．讨论在处的连续性。三、连续性命题的证明1．设且存在，证明在上有界。2．设在上连续，任取，证明：存在，使得。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习（略）重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设存在，求。2．设在处连续，且，求。3．设在上有定义，对任意的有，且，求。4．设二阶连续可导，且，，则。5．设在

3、上有定义，且对任意的有，又当时，有，讨论在处的可导性。（二）各类求导数的问题1．设，求；文案大全实用文档2．设，求；3．，求；4．设由确定，求；5．设，求；6．设，求；7．设由确定，求；8．设在处可导，求；9．求下列函数的导数：（1）设，求；（2）设，求；10．设连续，，且，求，并讨论在处的连续性。11．设，其中二阶可导且。（1）当为何值时，在处连续；（2）求；（3）研究在处的连续性。解答：（1），于是当时，在处连续。（2）当时，，文案大全实用文档即；当时，，于是。（3）因为，所以在处连续。12．设在上可导，在处二阶可导，且，求。13．设，求，并讨论的连

4、续性和可导性。（三）高阶导数问题1．设，求；2．设，求。3．设，求。第二部分一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设在的邻域内阶连续可导，则有。2．（导数零点定理）设，在内可导，且，则存在，使得。3．（导数介值定理）设设，在内可导，且，不妨设，则对任意的，存在，使得。文案大全实用文档4．设，且，则有，等号成立当且仅当。重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。2．设在上可微，且，证明：存在，使得。3．设在上连续，在内可导，。证明：（1）

5、存在，使得；（2）对任意的，存在，使得。类型二：目标表达式中含两个中值1．设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。2．设在上连续，在内可导，，证明：存在，使得。3．设，在内可导，且，证明：对任意的正数，存在，使得。4．设，在内可导（），证明：存在，使。文案大全实用文档类型三：目标表达式中含有端点和中值1．设，在内可导，且，证明：存在，使得。类型四：目标表达式为1．设函数在区间上连续，在内可导，且，，证明：存在，使得。3．设在上三阶可导，且，证明：存在，使得。4．设，且，证明：存在，使得。类型五：目标表达式为（其中为常数）1．设，在内二阶连续可导，证明

6、：存在，使得。2．设在上三阶连续可导，且，证明：存在，使得。3．设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足，则对每个，存在满足等式。（二）中值定理不等式的证明1．，在内可导，，且不是常数，证明：存在，使得。2．设，在内可导，且曲线非直线，证明：存在文案大全实用文档，使得。3．，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。4．设在上满足，且在内取到最小值，证明：。5．二阶可导，且，证明：。6．设在上二阶可导，，对任意的（）及（），证明：。7．设且，证明：。8．设在上有定义且，证明：对任意的，有。9．设在上二阶可导，且，证明：存在，使得。10．设在的邻域内四阶可导，

7、且，证明：对此邻域内任一不同于的，有，其中是关于的对称点。11．设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有。12．一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4。（三）求中值定理中的极限问题1．设二阶连续可导，且，又（）。文案大全实用文档证明：。2．设，证明：。（四）与极值、最值相关的命题1．设在二阶可导，满足，且，证明：。2．求数列中的最大者。（五）不等式的证明问题1．设，证明：当时，。2．证明：。3．证明：当时，有。4．设，证明：。5．当时，证明。（六）方程根的个数

8、讨论1．讨论方程的根的个数。2．设内有，且，证明：在内有且仅有一个根。3．证明方