考研数学强化班高等数学讲义.doc

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1、第一讲极限与连续主要内容概括一、极限1极限的概念1)数列极限:：,当时，恒有.2）函数极限:（1）：,当时，恒有.类似的定义，。（2）：,当时，恒有。左极限：(或)右极限：(或)几个值得注意的极限：，2极限的性质1）局部有界性若存在，则在某去心邻域有界。2）保号性设（1）如果,则存在,当时，.（2）如果当时,,那么.3）有理运算性质若.那么:两个常用的结论：1）存在，2)4）极限值与无穷小之间的关系;.其中注：数列极限也有以上对应的四条性质。3极限的存在准则1）夹逼准则：若存在，当时，，且则2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4常用的基本极限,,,,5无穷小量1）无穷小量的概念:若

2、，则称为时的无穷小量.2)无穷小的比较:设，且.（1）高阶：若；记为（2）同阶：若；（3）等价：若；记为（4）无穷小的阶:若，称是的阶无穷小.3）常用的等价无穷小：当时,，4）等价无穷小代换若则5)无穷小的性质:（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.6无穷大量1)无穷大量的概念:若，称为时的无穷大量；2）常用的一些无穷大量的比较（1）当时其中（2）当时其中3）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量无界变量4）无穷大量与无穷小量的关系：在同一极限过程中，如果是无穷大，则是无穷小；反之，如果是无穷小，且则是无穷大；二、连续1连

3、续的定义:若（或）则称在处连续。左连续:若则称在处左连续。右连续:若则称在处右连续。连续左连续且右连续2间断点（在某去心邻域有定义，但在处不连续）1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限跳跃间断点:左极限右极限2）第二类间断点:左、右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:时,振荡间断点:时,振荡3连续函数性质1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数；2)基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的；3）有界性：若在上连续,则在上有界。4）最值性:若在连续,则在上必有最大值和最小值。5）介值性:若在连续,且，则对与之

4、间任一数至少存在一个使得推论：若在上连续，则在可取到介于最小值与最大值之间的任何值.6）零点定理:若在连续,且,则必，使。重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1．求下列极限：（1）；2．求下列极限：（1）；3．求下列极限：（1）；（2）；（3）。类型二：利用重要极限求极限的问题1．求下列极限：（1）；（2）；2．求下列极限：（1）；（3）；（4）；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）设，求。2．求下列极限：类型四：极限存在性问题：1．设，证明数列收敛，并求。2．设在上单调减少、非负、连续，，证明

5、：存在。类型五：夹逼定理求极限问题：1．求；2．；3．。类型六：含参数的极限问题：1．设，求；2．设，求；类型七：中值定理法求极限：1、；2、。类型八：变积分限函数求极限：1、。2、设连续，且，则。二、连续与间断的判断1．设，讨论函数在处的连续性。2．讨论在处的连续性。三、连续性命题的证明1．设且存在，证明在上有界。2．设在上连续，任取，证明：存在，使得。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习一、导数与微分的概念1导数概念：=；左导数：；右导数：；可导左右导数都存在且相等2微分的概念：若，则称在处可微。其中称为在处的微分，记为3导数与微分的几何意义:(会求切线、法线方程).1）导数

6、在几何上表示曲线在点处切线的斜率。2）微分在几何上表示曲线的切线上的增量。在几何上表示曲线上的增量。4连续,可导,可微之间的关系二、微分法1求导公式1）2）3）4）5）6)7)8)9)10)11）12）13)14)15)16)2求导法则1．有理运算法则：设在处可导，则1）2）3)2．复合函数求导法：设在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且3．隐函数求导法：设是由方程所确定的可导函数，为求得，可在方程两边对求导，可得到一个含有的方程，从中解出即可。注：也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式得到。4．反函数的导数：若在某区间内单调、可导，且，则其反函数在对应区间内也可导，且；即5

7、．参数方程求导法：设是由参数方程，确定的函数，则1)若和都可导，且，则2）若和二阶可导，且，则6．对数求导法：如果的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对求导。7．高阶导数：1）定义：2）常用公式：1)2)3）；4）重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设存在，求。2．设在处连续，且，求。3．设在上有定义，对任意的有，且，求。4．设二阶连续可导，且，，则。5．设在上有定义，且对任意的有，又当时，