高等数学强化班讲义

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1、高等数学（强化班）讲义第一章函数、极限、连续一、重、难点内容归纳1.函数概念、性质1）会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。2）会求分段函数的复合函数。3）熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。2.极限1）熟悉应用“保号性定理”。2）熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。易出错的地方）。3.会讨论函数的连续性与间断性1）分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。2）明确函数间断性的讨论是指：①求出全部间断点；②指出间断点的类型。4.熟悉连续函数在闭区间上的性质1）熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。2）会讨论方程的根（①根的存在性，唯一性

2、；②根的个数的确定）。二、方法、技巧、题型例1分段函数的复合<例1.1>设，求.（答：）<例1.2>设，求.（答：41或，）例2函数性态单调性<例2.1>求（答：）.<例2.2>设连续且单调增.求证：.<例2.3>设有，证明：单调增.奇偶性<例2.4>设连续，时，那么1）若为奇函数，证明为奇函数。2）若单调增，证明为单调减。<例2.5>为奇函数，当时，.那么当时，是.(A)(B)(C)(D)周期性<例2.6>求（答：）.<例2.7>求（答：）.<例2.8>求（答：）.<例2.9>设是周期为的连续的奇函数。.问的周期为吗？（答：是）有界性<例2.10>当时，是.(A)无穷大量(B

3、)无穷小量(C)无界量(D)有界量非无穷小量41<例2.11>若，那么在一下的有界区间是.(A)(B)(C)(D)例3极限保号性<例3.1>设在的邻域连续，且，试讨论在处的极值.<例3.2>设在连续，..求证：使.<例3.3>设连续，，那么在处是.(A)极小值(B)极大值(C)是拐点(D)不确定<例3.4>设连续，，那么是.求极限方法、技巧、题型<例3.5>1)求.2).3).4)设.求.（答：6）5)存在，且.求，41.(答：)6).7)（答：原式）8)9).10).<例3.6>1)若.其中表示的最小整数.求.（答：）2)可导，求.（答：）3)设二阶可导，，求.（答：1）4)

4、设二阶可导，求.（答：）5)求.（答：0）6)求.（答：）411)求.（答：）2)，求.（答：36）3)求.（答：）4)求.（答：1）<例3.7>1)当时，与是等价无穷小，求.（答：）2)在全部域有连续二阶导数.且.求.（答：）<例3.8>若，求.（答：1）<例3.9>若，求.（答：2）例1.若，求.（答：）例2.若，求.（答：）<例3.10>确定系数1）若，求.（答：）2）若，求.（答：）3）若，求.（答：）411）若，且在连续.则.(A)(B)(C)(D)2）若，且是的同阶无穷小，则.例4单连续（间断性）<例4.1>二阶可导，.1）确定的值，使在连续.2）问连续吗？<例4.

5、2>设.1）如果在连续，则.2）如果在可导，则.3）如果在连续，则.<例4.3>设和在内有定义，为连续函数，且有间断点，则.(A)必有间断点(B)必有间断点(C)必有间断点(D)必有间断点<例4.4>设，试讨论的间断性.41例5介值定理，零点定理，方程的根<例5.1>在连续，.求证：使.<例5.2>设在可导，，且.求证：有且仅有一根.<例5.3>设.求证：在上有且仅有一根.<例5.4>，试证明：有且仅有3个根.41第二章导数及其应用一、重、难点内容归纳1.导数、微分概念。1）熟练掌握导数定义（两种形式）。2）熟悉导数的几何意义、会求曲线的“切线、法线”方程。2.导数计算1）熟练

6、掌握“导数定义”求导数。2）复合函数、隐函数、参数方程求导。3）会求高阶导数。3.导数的应用熟练应用导数“求证不等式，讨论极值，凹向，渐近线，中值定理，方程根的讨论”。二、方法、技巧、题型例1可导性，连续性的讨论<例1.1>二阶可导，，.问连续吗？<例1.2>设，则在处可导的充要条件是.(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在<例1.3>设.试确定为何值①使在连续;②在可导；③在连续.例2导数计算<例2.1>设，试证..<例2.2>证明：星形线上任意点处的切线在两坐标轴间的长度为常数.<例2.3>设连续.求.41<例2.4>.求.<例2.5>有.1）证明可导；2）求.<例2.6

7、>试证的微分方程.交换为的微分方程.（答：）<例2.7>求上在处的切线方程和法线方程（答：切线，法线）.例3应用1.证明不等式<例3.1>求证：.<例3.2>求证：.<例3.3>试比较与的大小.2.极值<例3.4>在邻域连续，且.试讨论在处的极值.<例3.5>的二阶导数连续，且.1）若是极值点，求证：是的极小值点.2）若是极值点，问是极大值点还是极小值点？<例3.6>二阶可导.且.试讨论在处的极值.3.渐近线<例3.7>求为水平、垂直渐近线.<例3.8>求的斜渐近线.4.中值定理41<例3.