考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤

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1、2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正

2、掌握正确的解题方法。4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为，求上物体走过的路程。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则2、曲边梯形的面积—设曲线，由及轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取，，其中；（2）任取，；（3）取，则。二、定积分理论（一）定积分的定义—设为上的有界函数，（1）取，，其中；（2）任取，作；（3）取，若

3、存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869【注解】（1）极限与区间的划分及的取法无关。【例题】当时，令，对，情形一：取所有，则；情形二：取所有，则，所以极限不存在，于是在上不可积。（2），反之不对。分法：等分，即，；取法：取或，则。则。【例题1】求极限。【解答】。【例题2】求极限【解答】。三、定积分的普通性质2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:31797

4、58691、。2、。3、。4、。5、设，则。【证明】，因为，所以，又因为，所以，于是，由极限保号性得，即。（1）。（2）设，则。6（积分中值定理）设，则存在，使得。四、定积分基本理论定理1设，令，则为的一个原函数，即。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。（2），。（3）。【例题1】设连续，且，求。【解答】，2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869，。【例题2】设为连续函数，且，求。【解答】，。定理2（牛顿—莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。【证

5、明】由得，从而，于是，注意到，所以，即。五、定积分的积分法（一）换元积分法—设，令，其中可导，且，其中，则。（二）分部积分法—。六、定积分的特殊性质1、对称区间上函数的定积分性质设，则（1）则。（2）若，则。（3）若，则。【例题1】设，其中为偶函数，证明：。2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869【解答】。（2）计算。【解答】，因为，所以，取得，于是。2、周期函数定积分性质设以为周期，则（1），其中为任意常数（周期函数的平移性质）。如。（2）。3、特殊

6、区间上三角函数定积分性质（1）设，则，特别地，，且。【例题1】计算。【解答】。2013年文都考研视频配套讲义视频下载地址www.kaoyanxuetang.comQQ:317975869【例题2】计算。【解答】。