2018届高考数学黄金解题模板 考点08 函数零点问题的解题模板

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1、【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B考点：零点存在定理．【变式演练1】方程的解所在

2、的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由题意得，设函数，则，所以，所以方程的解所在的区间为，故选B.考点：函数的零点.【变式演练2】函数的零点所在区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，，故函数的零点所在区间为．考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出

3、结论.例2.函数的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】试题分析：由已知得，所以在R上单调递增，又，，所以的零点个数是1，故选B．考点：函数的零点．【变式演练3】函数在区间（0,1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B关键.【变式演练4】方程的根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【变式演练5】已知函数．（1）记，求证：函数在区间内有且仅有一个零点；（2）用表示中的最小值，设函数，若关于的方程（其中为常数）在区间有两个不相等的实根，记在内的零点为，试证明：．【答案】

4、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（2）由（1）问可知，且时，，时，因此，其中满足即，（事实上），而时，，时，，因此在，若方程在区间有两个不相等的实根，，则必有，所证，因为在单调递减，所以只需证，而，所以只需证，即证明：，构造函数，，发现，，下证明时，恒成立，考查函数，所以在，所以一定有，因此，时，，即在，所以时，即成立了．考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数有零点问题转化为方程有根的问题；第二步在同一

5、直角坐标系中，分别画出函数和的图像；第三步观察并判断函数和的图像的交点个数；第四步由和图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论.例3.方程的解的个数是（）A．3B．2C．1D．0【答案】B考点：函数与方程。【变式演练6】已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，∴是周期函数，周期，且图象关于直线对称，∴的图象如下图所示，若直线与抛物线相切，则，由，故可知实数的取值范围是，故选C．考点：1．函数的性质；2．函数与方程．【变式演

6、练7】已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C考点：函数与方程.【变式演练8】设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D考点：1.函数与方程；2.数形结合.【高考再现】1.【2017全国三理】已知函数有唯一零点，则（）A．B．C．D．1【答案】C2.【2017山东理】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.【名师点睛

7、】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，]（B）[，]（C）[，]{}（D）[，）{}【答案】C4.【2015高考天津，

8、理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，所以，【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是