2018届高考数学黄金解题模板 考点07 分类讨论思想在分段函数中的应用

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1、【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。【方法点评】类型一分段函数使用情景：分段函数解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；第三步得出结论.例1函数，若实数a满足=1，则实数a的所有取值的和为（）A．1

2、B．C．D．【答案】C考点：1．函数的表示；2．函数与方程；3．分类讨论思想．【点评】本题考查了分段函数的求值问题，以学生熟悉的对数函数和二次函数为载体，渗透了分类讨论的思想，考查了学生基本运算能力和分类思想的培养.【变式演练1】在函数中，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：当时，；当时，；当时，（舍）.考点：本题考查函数性质例2已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概

3、念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.【变式演练2】函数，若函数在区间（，+1）上单调递增，则实数的取值范围是（）A.（-，1B.[1,4]C.4,+）D.(-,1∪[4,+）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，函数在，上为单调递增，所以有或，即实数的取值范围为.故正确答案为D考点：分段函数单调性的应用.例3若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)

4、【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练3】已知函数，则，的最小值是．【答案】，.考点：分段函数类型二含参数函数的最值问题使用情景：含参函数在区间上的最值问题解题模板：第一步通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置；第二步通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；第三步根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步得出结论.例4已知函数是二次函数，且满足，（1）求的解析式；（2）若，试

5、将的最大值表示成关于t的函数．【答案】（1）；（2）．考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【变式演练4】已知函数，（1）求在区间的最小值；（2）求在区间的值域【答案】（1）（2）当时值域为[2-2a，5+2a]，当时值域为，当时值域为[5+2a，2-2a].考点：二次函数的性质.【点评

6、】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.例5.设函数．（1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当，,对称轴为．所以的最大值，即可得到的最小值．（2）显然．．然后再对，和进行分类讨论，借助函数的单调（2）显然．．①当时，只需满足由及，得，与矛盾．②当时，只需满足由，得，∴，与

7、矛盾．③当时，只需满足由①，②得．由②，③得，又，∴，即，再结合②得，④∴．当时，由④得，此时满足①，②，③及．综上所述，的最大值为，此时．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练5】记函数（，，均为常数，且）．（1）若，（），求的值；（2）若，时，函数在区间上的最大值为，求．【答案】（1）4（2）（2）当，时，，，①当时，时，在区间上单调递增，所以；②当时，Ⅰ．若，即时，在区间上单调递增，所以；Ⅱ．若，即时，在区间上单调递减，所以；Ⅲ．若，即时，在区间上单调递增，上单调递减，所以．综上可得：．考点：1．求函数解析式与函数

8、求值；2．二次函数单调性与最值；3．分情况讨论.【高考再现】1.【2017山东文