分类讨论思想在分段函数中的应用-备战2019高考技数学---精校解析Word版

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1、【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。【方法点评】类型一分段函数使用情景：分段函数解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；第三步得出结论.例1函数，若实数a满足=1，则实数a的所有取值的

2、和为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：令和得若则，所以，所以或；若则，所以，所以（舍）或；第三步得出结论.所以所有可能值为，其和为，故选C．【变式演练1】在函数中，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：当时，；当时，；当时，（舍）.考点：本题考查函数性质例2已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C第三步，得出结论：所以只需满足，解得：，所以答案为C．考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨

3、论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.【变式演练2】【2018年全国（新课标I卷）】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将

4、式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.例3若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)【答案】D考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练3】已知函数，则，的最小值是．【答案】，.【解析】，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.考点：分段函数类型二含参数函数的最值问题使用情景：含参函数在区间上的最值问题解题模板：第一步通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置；第二步通过

5、讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；第三步根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步得出结论.例4已知函数是二次函数，且满足，（1）求的解析式；（2）若，试将的最大值表示成关于t的函数．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由已知，因此二次函数的解析式可设为；（2）由于二次函数的最大值与对称轴有关，而且本题中二次项系数为负（图象是开口向下的抛物线），因此要分三类求最大值，即对称轴在区间的左边，在区间上，在区间的右边，分别求解，最后得是一个分段函数形式．（2）第一步，通

6、过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置：由题意可得：参量在区间的端点；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：由（1）知，的对称轴为，若，则在上是减函数，若，即，则在上是增函数，在是减函数，若，即，则在上是增函数；第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值：若，则在上是减函数，…8分若，即，则在上是增函数，若，即，则第四步，得出结论：故考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动

7、，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【变式演练4】【2018年全国考试理科数学（天津卷）】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变

8、化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有