备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题07分类讨论思想在分段函数中的应用含解析

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1、专题7分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分段函数是高中数学中-•类重要的函数类型，不仅能考杳函数的概念、表示及性质，而口能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分段函数的几类常见问题是必要的，下面针对分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和授值问题。【方法点评】类型一求值问题使用悄景：分段函数的求值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用对数运用、指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解；第三步得出结论.例1已知函数=,若/

2、(/(-))=4,贝巾二()[log2x,x>l'2A.16B.15C.2D.-3【答案】B试题分析：f1Al+s当。兰0日寸，ff-k丿【解析】2、、=/"(l+a)=3。+2=4>«=—>0?不成立;当jaO,/f/f^=/(l+«)=log2(14-«)=4,得o=15a0成立，所以选B.<12丿丿考点：分段函数与对数运篦.【点评】木题考杳了分段函数的求值问题，以学生熟悉的对数函数和一次函数为载体，渗透了分类讨论的思想，考查了学生基本运算能力和分类思想的培养.x+2,x<-l【变式演练1】在函数)=兀2,_1<%<2中，若f(x)=1,则的值是()lx.x>2

3、A.B.1或舟C.±1D.73【答案】c【解析】试题解析：当x<-lII寸，x+2=1=>x=-l；当一lvxv2II寸，x2=1x=1；当x>2II寸，2兀=1=>兀=丄(舍).2考点：本题考查函数性质【变式演练2】函数/(无)二]晋2兀">0,若实数a满足/(/(d))二1,则实数a的所[x2+4x+1,x<0冇取值的和为()A.1B.x/5C.V5D.-21616【答案】C【解析】试题分析：令t=贝i]/(/)=U当eo时，由/(/)=log2/=l得42；当彳兰0时，由f(f)=^+4/4-1=1得f=O或/=-4,所以/(°)=2或/(°)=0或/(°)=

4、-4；若当oaO时，f(a)=log2a=2?此时d=4；当«<0B寸，/(")=/+也+1=2,此时a=—2-、仔(°=—2+*75舍去)；若才(°)=0,当caO时，f(a)=iog2a=0f此时a=l；当«<00寸，/(«)=«2+4^+1=0,止匕时a=—2-、巨或a=—2+后；若/(°)=-4,当oaO时，f(d)=]og2a=-4,此时当。曰寸，=也+1=-4,16此时方程无解；所以。所有可能值为4,-2-厉丄-2-厉,-2+語,*■>其和为-学-石〉故选C.1616考点：1.函数的表示；2.函数与方程；3.分类讨论思想.类型二单调性问题使用情景：分段函

5、数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对B变量进行分类;笫二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性;最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）;第四步得出结论.[x2,XE[0,+oo）例2已知函数/（%）=,/7在区间-oo,+oo上是增函数，则常数的疋+/—3g+2,xw（—oo,0）取值范围是（）A.（1,2）B.（yo,1]U[2,+8）c.[1,2]D.（-°°,l）U（2,+oo）【答案】C【解析】试题分析：若/（力在（to,他）上是増函数，易判断在区间[0,七。）单调递増，函数尹=童+；-3°+2在（to®单掉递増，所以只需满

6、足/一3°+2£0,解得：l

7、~_，若函数y=Jx）在区间（，+1）上单调递增，log2x,x>4则实数的取值范围是（）A.（-oo,1B.1,4]C.4,+oo）D.（-oo,1U4,+oo）【答案】D【解析

8、】试题分析：由题意可知，函数于（兀）在（-00,2）,（4,+oo）上为单调递增，所以有G+1,,2或a・・4,即实数的取值范用为（-oo,l]U[4,+oo）.故正确答案为Do考点：分段函数单调性的应用.[（3a-l）x+4a,x<1【变式演练4】已知两数/（X）={在R是单调函数，则实数的取值范围是.Ilog“x,兀》1【答案】【解析】试题分析：要使函数用)屮严一山+仏:?在渥是单调递増函数，需满足log_X,X>1kdt(3«-l)xl+4«