专题07分类讨论思想在分段函数中的应用(解析版)——王彦文

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1、专题四：分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分段函数的几类常见问题是必要的，下面针对分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和最值问题。【方法点评】类型一求值问题使用情景：分段函数的求值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用对数运用、指数运算等，将问题转化为对数

2、型方程、指数型方程等类型加以求解;第三步得出结论・1若ff一"，则a=((())42…「，込2x+a,x<1例1已知函数f(x)=12A.16B.15(1、—!=1+t?>当aSO时,=/(1+a)=3a+2=4,=/(l+a)=log2ll+al=4,得a=15>0成N所以a=15,选b.考点：分段函数与对数运算【点评】本题考查了分段函数的求值问题，以学生熟悉的对数函数和一次函数为载体,渗透了分类讨论的思想，考查了学生基本运算能力和分类思想的培养<-【变式演练1】在函数y

3、x2

4、,x'1A1XI2X,—2x,若f(x)则X的值是（A.1【答案】C试题解析：当x1时，X1；当时,21X时，1.当x22x1x(舍).考点：本题考查函数性质类型二单调性问题使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变愛行类第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出维[€K4-oc例2已知函数f（x）才x,xuI在区间（_乂，+

5、乂）上是增函数，则常数a的取值范團（）3+2一+€/一Xxa3a2,x,0;A.（1,2）B•（-切*乜）C.[1,2]D•（勺）（2“）【答案】c试題分析：若/（X）在（TC■+口上罡増国数，易判断v=x:在区间[0.+X）单调递増，雷数y=^+a2-3a+2在（to,O）单掉递增，所以只需满足a2-3a+2

6、减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）【变式海】函数4x,□Clog2x,4=（）,若函数yfx在区间（4C.[4,+)D.(-a,a+1）上单调递增，则实数a的取值范围□C,1]u[4,+)1]B.[1,4]xDo)(亠是()A•(-在，2考点：分段函数单调性的隔.+□04,上为单调递增，W1,2或a・・・4,即实数a的取值范围【变式鋼】『知函那f（【答案】11试岂耳听：金命函n/（-V）=(3a1)xX)ilogx,a>4a,x1在R是单调函数，则

7、实数1a的取值范圉(3a—l)x+4atx1*3d—1>0在虑是单调递増函数，需满足a>l[(3a—l)x1+4aSlog.1(3a-l)x+4atx1v0在R罡单调递磁数，需满足丿0

8、谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值;第四步得出结论・例3设函数g(x)X2(x+oCA.[0,)■■LJ,0]4c.(1,【答案】D试题分析：由题意,可知9,0]4_J()++4,<(),则f(x)的值域是(=gx_xR),f(x)I_g(x)x,xg(x)_£+乂>xgx・••若x(,1)(2,(2,)考点：复合函数的值域2lx-LI,0]4•He(2,)x"2,x€—oC+oC【点评】本题考查孑分段函嫌的最值问题,(，1)(2,€+oe2,x[1,2]则f(x)(2,)渗透着分类讨论的思想,)

9、,因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值€€一一9若x[1,2],f(x)[,0],/.f(x)的值域为4考查学生全面思考问题的能力，属中档题・其解题的关键是对其进行合理的分类讨论(xa).0,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(x)【解析】由于当*>0B^,/(jO,=x+丄+a在x=l时取得量小值2+a,由题意当xS0时，/(x)=(x-a)‘XX确挪Wi则脾樹俾鹤二春呻：辛+2,解得XM2,选D.【答案】D+考点：分段函数的单调性与最值诃题.【变式演练5］已