函数的周期性和对称性-备战2019高考数学---精校解析 Word版

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1、【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性的判定及应用使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数满足，则函数的周期为；（2）若函数满足或或，则函数的周期为；第三步运用函数的周期性求解实际问

2、题.例1函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第一步，准确求出函数的周期性：由，可知是周期为的函数，第二步，运用函数的周期性求解实际问题：令故，代入解析式，得，解得，从而，故，故选C.【点评】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．【变式演练1】【云南省曲靖市第一中学2018届高三9月高考复习质量监测】已知函数满足和,且当时,则A．0B．2C．4D．5【答案】C考点：函数的对称性与函数的周期性【变式演练2】定义域为上的奇函

3、数满足，且，则（）A.2B.1C.-1D.-2【答案】C【解析】,因此，选C.考点：函数的周期性.【变式演练3】【甘肃省静宁县第一中学2018届高三上学期第一次模拟】函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有，所以.选.考点：抽象函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类函数满足时，函数的图像关于直线对称；第二类函数满足时，函数的图像

4、关于点对称；第三类函数的图像与函数的图像关于直线对称.例2．已知定义在上的函数满足，，则（)A．B．C．D．【答案】B【解析】考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.例3已知定义在上的函数的图象关于点对称,且满足,又,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：函数的周期性；函数的对称性．例4已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A.2

5、B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称，，即，故点，关于点对称，故，故选B.【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对

6、称性解答的.【变式演练4】定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1.【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）（A）0（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.2.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知是定义域为的奇函数,满足.若

7、，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：考点：函数的周期性.【名师点睛】函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3.【2018年全国文科数学】已知函数，则A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称D．的图像关于点（1，0）对称【答案】C【考点】函数的对称性、单调性。【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，

8、，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．4.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.【答案】-2【解析】考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题