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《2018年高考数学 专题12 导数与函数的单调性问题黄金解题模板》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题12导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.【方法点评】类型一求已知函数的单调区间使用情景：已知函数的解析式判断函数的单调性解题模板：第一步计算函数的定义域；第二步求出函数的导函数；第三步若，则为增函
2、数；若，则为减函数.例1函数的单调递增区间为___________．【答案】【变式演练1】若，，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，，时，；在上是增函数，又，.故选C．考点：利用导数研究函数的单调性．【变式演练2】函数，的单调减区间为．【答案】（0，）（可写为）【解析】试题分析：由题意得，，所以令且，则考点：1.函数的求导法则；2.利用导数求单调区间；【变式演练3】设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.【变式演练4】若，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题
3、分析：函数的定义域为，,所以的解集为,故选C．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.类型二判定含参数的函数的单调性使用情景：函数的解析式中含有参数解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2已知函数，函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若，求证不等式.【答案】(1)g(x)的增区间，减区间;(2);(3)见解析.设，考虑到，在上为增函数，，当时，，在上为增函数，恒成立当时，
4、，在上为增函数，在上，，递减，，这时不合题意，综上所述，（Ⅲ）要证明在上，只需证明，由（Ⅱ）当a=0时，在上，恒成立，再令，在上，，递增，所以即，相加，得，所以原不等式成立.【点评】这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。【变式演练5】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】考点：1、利用导
5、数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【变式演练6】已知.（1）讨论的单调性；（2）当时,证明对于任意的成立.【答案】（1）当时,在内单调递增,在内单调递减,当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增,当时,在内单调递增,在内单调递减,在单调递增；（2）证明见解析.①时,,当或时,单调递增,当时,单调递减.②时,,在内,单调递增.③当时,,当或时,单调递增,当时,单调递减.综上所述,当时,在内单调递增,在内单调递减,当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增,当时,在内单调递增,在内单调递减,
6、在单调递增.（2）证明:由（1）知时,,设,则,由,可得,当且仅当时取得等号,又,设,则在单调递减,因为,使得时,时,在内单调递增,在内单调递减,由,可得,当且仅当时取得等号,所以,即对于任意的成立.考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.【变式演练7】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；（3）若，求证.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.（2）由，得，∵在定义域上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立，∵（当且仅当时取等号），
7、∴，即实数的取值范围是.（3）∵，∴，要证，即证令，由（2）知，在上是增函数，∴.故，即.考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.【变式演练8】函数．讨论的单调性．【答案】当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．【变式演练9】已知函数，，其中a∈R.（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（
8、x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）a≥考点：利用导数研究函数单调性【思路点睛】导数与函数的单
