2018年高考数学专题03函数的单调性和最值黄金解题模板

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1、专题03函数的单调性和最值【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．【方法点评】方法一定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步取值定大小：设任意，且；第二步作差：；第三步变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；第四步定符号；第五步得出结论.例1已知函数且，(1)求的值；(2)判断函数的单调性,并用定义证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.所以函数在上单调递减.【点评】本题主要考查待定系数法求

2、函数解析式以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差分解因式；（3）判断的符号，可得在已知区间上是增函数，可例2判断并证明：在上的单调性．【答案】在上单调递增，证明见解析.考点：用定义法证明单调性．【变式演练1】已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的表达式；（2）判断并证明函数在区间上的单调性.【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析.【解析】试题分析：（1）由是奇函数，令得，，当时，，得出，即可得出函数的表达式；（2）利

3、用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性.试题解析：（1）∵是奇函数，∴对定义域内任意的，都有.……1分令得，，即又当时，，此时综合可得：考点：函数的解析式与函数的单调性的定义.例3定义在上的奇函数，对任意时，恒有.（1）比较与大小；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）利用作差法，即可比较与大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；考点：函数奇偶性与单调性的

4、综合问题.【变式演练2】已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据条件建立方程关系即可求出函数的解析式；（2）利用定义证明在上是增函数；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式.试题解析：（1）即，,（2）设，且，则，∵，，，，∴，即，∴在上是增函数．（3）依题意得，，则∴．考点：1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性.方法二导数法使用情景：较复杂的函数类型

5、解题模板：第一步求函数的定义域；第二步求导；第三步在定义域范围内解不等式或；第四步得出函数的增减区间.例4已知函数．求的单调递减区间；【答案】，【变式演练3】已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题函数为增函数，则在上恒成立，则，设则令得到，可知函数在上单调递增，在上单调递减，则，即的取值范围是，选A方法三复合函数分析法使用情景：简单的复合函数类型解题模板：第一步先求函数的定义域；第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；第三步根据同增异减，确定原函数的增

6、减区间.例5求函数的单调区间；【答案】在上单调递增，在上单调递减.【点评】函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导函数求函数的单调区间也必须先考虑函数的定义域.【变式演练4】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.（1）当时，求解析式；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：(1)利用奇偶性，时，，；（2）时，对称轴是，开口向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为；同理，当，的对称轴是，开偶向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为.复合函数单调性利用同增

7、异减来解决.试题解析：（1）时，，∴，∵是偶函数，∴，时，.（2）由（1）知时，，函数的单调增区间，时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间，所以函数的单调增区间为，.考点：待定系数，导数与单调区间．方法四图像法使用情景：图像比较容易画出的函数类型解题模板：第一步通过题目条件画出函数图像；第二步从图像中读出函数的单调区间.例6求函数的单调区间。【答案】函数的单调增区间为减区间为.【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，用“，”隔开.【变式演练5】已知函数（1）在如图给定的直角坐标系内画出的

8、图象；（2）写出的单调递增区间．【答案】（1）图象见解析；（2）.考点：函数图象与单调性．【高考再现】1.【2017全国二文】函数的单调递增区间是A.B.C.D.【答案】D2.【2017北京卷理】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，