函数单调性和最值专题

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1、星辰教育培训中心函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1随x的增大，y的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

2、有f(x1)

3、一单调区间上，它是增函数还是减函数？【针对性练习】第9页共9页星辰教育培训中心下图是借助计算机作出函数y=－x2+2

4、x

5、+3的图象，请指出它的的单调区间．2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1

6、上是增函数还是减函数？试证明你的结论．例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m第9页共9页星辰教育培训中心的取值范围．例5、判断一次函数单调性.例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论〖针对性练习〗1.函数的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1

7、）、（1，）D.（-，1）（1，）第9页共9页星辰教育培训中心2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是(  ).　A．  　　B．     C．　　D．3．函数的增区间是（  ）。　A．[-3，-1]B．[-1,1]C． D．4、已知函数，判断在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。5、定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆1、定义：设y=f(u),u=g(x),

8、当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为　　y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：第9页共9页星辰教育培训中心函数单调性增增减减增减增减增减减增例1、已知，求的单调性。例2、已知，求函数的单调性。〖针对性训练〗1、已知，求函数的单调性。2、已知，如果，那么（）A.在区间（-1，0）

9、上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数第9页共9页星辰教育培训中心三、函数的最大（小）值1．函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，称M是函数的最大值．2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，称M是函数的最小值．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）

10、的，即对于任意的，都有．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法②换元法③数形结合法例1、求函数．①②③第9页共9页星辰教育培训中心例2、求函数的最大值．例3、求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．【针对性练习】一、选择题1．函