华工高等数学统考试卷下2008

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1、高等数学下册试卷2009．7．1姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场的散度为.向量场的旋度为.3、[4分]]设有连续偏导数，则4、[4分]交换二次积分的积分次序5、[4分]设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分0，6、设，则它有极小值二、[8分]设，求解：两边取微分，得从而，d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页一、[7分]设长方形的长、宽、高满足，求体积

2、最小的长方体。解：令则，从而再由即约束条件，可得，从而由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。二、[7分]求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：上半球面的部分为三、[7分]计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域解：由对称性从而四、[7分]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面和之间下方部分的下侧解：取上侧d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页则原式七[7分]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关取路径，八、[7分]求微分方程的通解

3、解：，，九、[7分]计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得即，这是标准的一阶线性微分方程d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页原方程令得，代入通解得，从而八、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设且，试根据的值判定级数的敛散性解：，从而当，即时，级数收敛；当，即时，该级数发散九、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展开成傅立叶级数解：，（奇函数在对称区间上积分）从而十、[7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设，证明：满足

4、微分方程，并求解：从而而且解初值问题，，通解为d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页，由初值条件：，十、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为从而，由初值条件可得。因此十一、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为十二、[7]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给

5、定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页证：令，则从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。显然时成立，故切平面均过。证毕d5aacef2dcd17cb65a7c616e05d10f05.doc共6页第6页