华工高等数学统考试卷下2007

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1、高等数学下册试卷2008．7．4姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]设，则2、[4分]曲线在点的切线方程为.3、[4分]已知，则04、[4分]函数在点处沿从点到点方向的方向导数是5、[4分]设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分6、设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分.二、[7分]计算二重积分.是由所围成的闭区域解：作图知三、[7分]计算三重积分，其中.由所确定共6页第6页解：由交线（舍去）于是投影区域为，柱坐标下为一、[7分]计算，其中为半球的上侧解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式原式（用对称性可以

2、简化计算）二、[7分]计算，其中为抛物面解：，投影区域为由对称性，原式三、[7分]求在约束条件下的最大值和最小值解：令则共6页第6页由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为一、[7分]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：二、[7分]求微分方程的通解.解：原式可以化为一阶线性微分方程由公式三、[7分]设具有二阶连续导数，，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。解：由全微分方程的条件知有特解有形式，代入原方程得从而通解由初值条件因此原方程即为即共6页第6页一、[7分]（非化工类做）求幂级数的收敛域及其和函数解：由，从而为收敛区间又时

3、级数发散（调和级数去掉第一项），时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为设，则，因此二、[6分]（非化工类做）将函数展开成的幂级数解：的定义域为，从而三、[6分]（非化工类做）证明：在区间上等式成立证明：对上的偶函数作周期为的周期延拓，再作出其傅立叶级数由收敛定理即可推出。由公式共6页第6页，从而由收敛定理知道在上一定成立十、[7分]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为十一、[6分]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，

4、求解：对方程两边取微分得即十二、[6分]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续解：由定义同理由于从而函数在原点处可微。共6页第6页当由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。共6页第6页