西南交大数值分析上机实习报告

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1、数值分析上机实习报告（2015～2016学年第一学期）姓名：xxxxxxx学号：xxxxxxxxxx专业：岩土工程指导教师：徐跃良联系电话：xxxxxxxxxxx实习成绩：xxxxxxxxx2015年12月10日14目录一序言3二正文3题目33原理33结果34分析35题目46原理46结果47分析47题目57原理57结果58分析59三总结9四附录9附录1雅格比迭代法程序代码9附录2高斯－赛德尔迭代法程序1014附录3求解题目3程序代码11附录4SOR法程序代码12附录5求解题目4程序代码13附录6Runge-Kutta4阶算法程序代码13附录7

2、求解题目5程序代码1414一序言MATLAB的M语言，一种演算纸方式的编程语言。通过这种语言，用户可以用类似于数学公式的方式来编写算法，大大降低了编程所需的难度并节省了时间，从而让用户把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。为便于检验结果，本上机实习全部使用M语言编程，然后用内置函数求解进行对比。二正文题目3用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。(1)(2)(3)原理：雅格比迭代法：14Jacobi迭代也可看成简单迭代的一种，故对简单迭代

3、的所有性质也成立。从上可知：如果矩阵A的主对角元不为零，则其Jacobi迭代是唯一的。如用矩阵形式表示：则迭代矩阵：B=I－其中：g=b，D=diag(a11,…，ann)Jacobi迭代收敛的充要条件是r（Ｉ－Ａ）<１。Gauss-Seidel迭代法我们称它为方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代式，如写成矩阵形式为：x(k)=D-1(Lx(k)+Ux(k-1))+D-1bx(k)=(D-L)-1Ux(k-1)+(D-L)-1b其中：L=－D=diag(a11,…，ann)Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为(D－LU，常数项为

4、(D－Lb，收敛的充要条件是r（(D－LU)<1结果314取(1)bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb131（-0.7273，0.8081，0.2525）T19(-0.7273,0.8081,0.2525)Tb237(36.3636,-2.0707,114.0404)T24(36.3636,-2.0707,114.0404)T(2)bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出55(4.2308,-0.7692,-0.7692)Tb2发散无法求出65(32.6923,7.6923,-

5、42.3077)T(3)bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出发散无法求出分析3GS迭代收敛速度一般比Jacobi迭代收敛速度快，右端项对迭代是否收敛没有影响，但有时对迭代次数会产生较大的影响。题目4松弛因子对SOR法收敛速度的影响。用SOR法求解方程组Ax=b,其中要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1,1.2,...,1.9进行迭代，记录近似解x(k)达到

6、

7、x(k)-x(k-1)

8、

9、<10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w£014或w³2会有什么影响？

10、原理：逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法。其中：由此，解的SOR-迭代法的计算公式为（2）观察（2）式，可得结论：（1）当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。（2）当w>1时，称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代结果4取时所用的迭代次数k列表如下：wn1.11.21.31.41.51.61.71.81.9-101234811141822314266138出错出错10发散

11、出错146912151824304367142出错出错12发散出错81113161922334267140出错出错12发散出错101215172024304568140出错出错13发散出错分析4松弛因子的选取会对迭代次数及和是否收敛产生较大影响，松弛因子w应该满足0

12、的部分。（5.1）常微分方程初值问题的数值解法是求方程（5.1）的解在点列上的近似值，这里是到的步长，一般略去下标记为。常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：