数值分析上机实习报告

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1、数值分析上机实习报告14目录1.问题一………………………………………………………………11.1问题一重述…………………………………………………11.2秦九韶算法简介……………………………………………11.3问题一算法实现……………………………………………11.4问题一求解…………………………………………………12.问题二………………………………………………………………22.1问题二重述……………………………………………………22.2逐次超松弛迭代法(SOR法)简介…………………………22.3问题二算法实

2、现………………………………………………32.4问题二求解……………………………………………………33.问题三………………………………………………………………43.1问题三重述……………………………………………………43.2最小二乘拟合多项式与拉格朗日插值多项式简介…………43.2.1最小二乘拟合多项式简介……………………………43.2.2拉格朗日插值简介……………………………………53.3问题三算法实现………………………………………………53.3.1多项式拟合算法………………………………………53.3.

3、2拉格朗日插值算法……………………………………63.4问题三求解……………………………………………………63.4.1最小二乘多项式拟合结果……………………………63.4.2拉格朗日插值结果……………………………………83.5问题三评价……………………………………………………93.5.1问题三评价方法………………………………………93.5.2问题三评价结果………………………………………94.总结与体会…………………………………………………………105.附录…………………………………………………………………

4、11141.问题一1.1问题一重述利用秦九韶算法简化求多项式的值的运算式,并写程序计算多项式在点处的值。1.2秦九韶算法简介化为以下形式:求多项式值时先计算内层括号内的一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即:……1.3问题一算法实现Step1:输入多项式的降次排列的系数矩阵,某次缺失的系数用零补充之;Step2:计算表达式,按递推公式,一直计算到表达式,表达式即为所求秦九韶表达式;Step3:输入x的值;Step4:计算,按递推公式,一直计算到的值,的值即为x处多项式的值。1.4问题一求

5、解求解的matlab代码见附录1①首先根据提示输入的系数向量得出按秦九韶算法简化后的多项式:②根据提示输入x的值为-1得到多项式在点处的值为:7Matlab程序运行结果如下:141.问题二2.1问题二重述松弛因子对SOR法收敛速度的影响。用SOR法求解方程组Ax=b,其中要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1,1.2,...,1.9进行迭代,记录近似解x(k)达到

6、

7、x(k)-x(k-1)

8、

9、<10-6时所用的迭代次数k,观察松弛因子对收敛速度的影响,并观察当w£0或w³2会有什么影响?

10、2.2逐次超松弛迭代法(SOR法)简介将高斯—赛德尔迭代格式改写成记则可以认为是在上加一修正量得到,将修正量改为,令,通过取适当的的值使迭代格式收敛得更快,其中14称为松弛因子。是称为超松弛法,称为低松弛法,时即为高斯—赛德尔迭代法。2.3问题二算法实现输入方程组阶数n对松弛因子进行对赋初值0对迭代次数进行对于进行将每次迭代后的值赋给TFTFTF停止,输出继续2.4问题二求解求解matlab程序见附录5.2分别求阶数,松弛因子,所需的迭代次数,所得结果如下表:阶数n松弛因子w24681.156771.2

11、67881.37910101.4101112131.5131214161.6161717191.7232425241.8363838391.976767979做出折线图如下:由图和表可以看出,当松弛因子为1.1时,收敛速度最快,方程组的阶数对方程的收敛速度影响不显著。141.问题三3.1问题三重述某过程测涉及两变量x和y,拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式,已知xi与yi之间的对应数据如下,xi=1,2,…,10yi=34.658840.371914.6448-14.2721-13

12、.357024.823475.2795103.574397.484778.2392(1)请用次数分别为3,4,5,6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。(2)请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录,它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi=Columns1through71.50001.90002.30002.70003.10003.50003.9000Columns8through144.30004.70005.100

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