概率论与数理统计4-1(08)

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1、例设系统L由两个相互独立的子系统⑶备用（当系统1损坏时，系统2开始工作）。设试求系统L的寿命Z的概率密度。连结而成，连接的方式分别为⑴串联；⑵并联；的寿命分别为X,Y,并且解由题意可得⑴⑵⑶则⑴⑵⑶时时所以第四章随机变量的数字特征一、数学期望二、方差三、协方差及相关系数四、矩、协方差矩阵在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.随机变

2、量的数字特征（即用数字表示随机变量的分布特点），在理论上和应用上都是有重要意义的。本章介绍随机变量常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望第四章第一节二、随机变量函数的数学期望一、数学期望的概念三、数学期望的性质四、几种重要分布的数学期望一、数学期望的概念对于随机变量来说，有时不仅要知道它的概率分布，还希望知道随机变量取值的“平均”大小。起源：法国数学家帕斯卡（Pascal，1623—1662）法国数学家费马（Fermat，1601—1665）法国军人德.梅勒（DeMere，1607—1684）帕斯卡德.梅勒约定先赢5

3、局，获全部赌金A：4B：3分赌金写信费马假设再赌一局A赢获全赌金：1A输获赌金：1/2A最后获赌金：1/2×1+1/2×1/2=3/4B最后获赌金：1/2×0+1/2×1/2=1/4期望（提前分钱）朋友我们来看一个引例.引例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况（假定小张每天至多出现三件废品）1、离散型随机变量的数学期望可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17

4、天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作

5、为随机变量X的平均值.注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数绝对收敛。设离散型随机变量X的分布律为简称期望或均值，记为E(X).则称此级数的和为X的数学期望。即级数的和.数学期望是随机变量的平均值，其与X取值xk的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。定义1定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.解设试开次数为X,于是某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数

6、的数学期望.例1例2甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？解甲乙的平均环数可求得：因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。X：甲击中的环数Y：乙击中的环数期望值在决策中有着广泛的应用假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高．计算期望值：若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．而经营工艺品期望值E2＝

7、0.95×1000＝950元．再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣一分没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气计算得分的期望值蒙对答案的概率0.25此种情况下，蒙不蒙效果都一样关于期望值的理解:1、随机现象大量次试验的平均值2、期望值的计算公式为各种可能取值的加权平均2、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

8、替.这正是的渐近和式.近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛