多元函数微分学章节复习

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1、多元函数微分学章节复习 本章教学要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。2．熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。3．熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。4．能熟练地求全微分。5．了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。 例题讲解：一、填空题1．函数的定义域是___________________________。2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。3．设z＝ln(xy)，则dz＝_

2、_______________。4．二元函数的定义域是________________________。5．设，则dz＝________________。6．设z＝(1＋xy)x，则＝_____________。7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则＝________________。8．函数的定义域是________________________。9．函数的定义域是________________________。10．设z＝f(u，v)，u＝xy，，则＝________________。11．设ez－xyz＝0，

3、则＝________________。分析与解答：1．函数的定义域是___________________________。1．要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)；x2＋y2≠1，

4、y

5、≤

6、x

7、，x≠0}2．如果f(x＋y，x－y)＝xy，则f(x，y)＝______________。2．令，则，即有，故3．设z＝ln(xy)，则dz＝________________。3．，，故4．二元函数的定义域是________________________。4．要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的

8、定义域是D＝{(x，y)；－2≤x＋y≤2，x－y＞0，x－y≠1}5．设，则dz＝________________。5．，，故6．设z＝(1＋xy)x，则＝_____________。6．相对y来说，x是常数，故z可以分解为：z＝ux，u＝1＋xy，则7．设f(x，y)＝ln(x＋exy)，则＝________________。7．8．函数的定义域是________________________。8．要使函数有意义，必须：，即定义域为：{(x，y)；y＞0，x＋y＞0}9．函数的定义域是________________

9、________。9．要使函数有意义，必须：，即故该函数的定义域为：{(x，y)；x＋y＞0，x2＋y2＜1＝10．设z＝f(u，v)，u＝xy，，则＝________________。10．11．设ez－xyz＝0，则＝________________。11．设，则，，故二、单项选择题1．设z＝(2x＋1)3y＋2，则（）。A.(3y＋2)(2x＋1)3y＋1B.2(3y＋2)(2x＋1)3y＋1C.(2x＋1)3y＋2ln(2x＋1)D.3(2x＋1)3y＋2ln(2x＋1)2．设z＝ln(x＋y)，则（）。A.－dx

10、＋dyB.dx＋dy C.dx－dyD.－dx－dy3．设，则（）。A.B.C.D.4．下列说法正确的是（）。A.可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有B.函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有C.若，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值D.若或有一个不存在，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值5．设z＝uv，x＝u＋v，y＝u－v，若把z看作x，y的函数，则（）。A.B.C.2xD.x分析与解答：1．对y来说，z是y的指数函数，可分解为：z＝(2x＋1)u，u＝3y

11、＋2，由复合函数求导法则，得，即D正确。2．，，即B正确。3．，即D正确。4．函数取得极值的点可能是不可导点，因此B不正确；驻点未必是极值点，因此C也不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故D也不正确。总之，只有A才正确。5．由题设，，故，即A正确。三、计算题1．设z＝ln(u＋v2)，，v＝xy，求：解法一：∵，∴解法二：因为所以，2．设函数z＝f(x，y)由方程所确定，求解法一：设则，故解法二：方程两边对x求偏导数，得：即，故方程两边对y求偏导数，得：即，故3．设，求解：设z＝f(u，v)，u＝x2＋

12、y，则4．表面积为S的长方体箱子中（箱子无盖），求体积最大者的边长。解：设长方体的边长分别为x，y，z，于是长方体的体积为V＝xyz已知xy＋2(xz＋yz)＝S又设F(x，y，z，λ)＝xyz＋λ(xy＋2xz＋2yz－S)求F(x，y，z，λ)对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组：由(1)×x－(