精品-中考专题总结——图形旋转

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中考专题总结——图形旋转《旋转》教材分析一．其知识结构框图如下：中心对称图形（图案设计）旋转及其性质平移及其性质轴对称及其性质中心对称关于原点对称的点的坐标图形变换首先，根据旋转的概念可知,旋转变换包括三个方面的要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角度．其次，分析旋转的概念,可得旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的；旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；最后，根据旋转的性质，学会作一个图形绕某点旋转后的图形例1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合．（1）请指出其旋转中心与旋转角度；（点A；逆时针旋转45°）（2）用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？（绕点A顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到）（3）将图2（顺时针）旋转多少度以后可以和自身重合？（90°的倍数）图1CAEDB图2练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（A）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的练习2．（08海淀一模）已知：Rt在4×6的方格图中的位置如图，设每个小正方形的边长为一个长度单位，请你先把 以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后再沿水平方向向右平行移动三个单位（保留图形移动的结果），写出点C移动的路径总长．例2．（08宣武一模）如图，在梯形中，∥，的长为4，，已知点、的坐标分别为（1，0）和（2，－3）．（1）求点的坐标；（2）取点（2，－1），联结并延长交于，试猜想与之间的位置关系，并证明你的结论；（3）将梯形绕点旋转后成梯形，画出梯形．2．类比旧知，有利于掌握新知类比学习“两个图形成中心对称”和“中心对称图形”中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．类比平移、轴对称变换和中心对称变换平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．对应线段关于对称轴对称．*对应线段相等，其所在直线的夹角等于旋转角或与旋转角互补．（二）注意联系实际，培养动手操作11例5．（07北京中考）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．练习4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3~图6中统一用F表示）．ABCDEF（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．（图4）（图5）（图6） （三）用运动发展的眼光看问题1．从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识．例6．（1）如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．图1图2图3（2）如图2，AD为△ABC中的角平分线，M为BC中点，过点M作MF∥AD交CA的延长线于F，求证：CF=BE．（3）如图3，在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P，边BC上取点Q，边CD上取点M，边AD上取点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN． 例7．题组分析：从一道全等证明问题所联系到的．（1）如图，C为BD上一点，分别以BC和CD为边向同侧作等边三角形ABC和ECD，AD和BE相交于点M．探究线段BE和AD的数量关系和位置关系．（相等，夹角为60°）当绕点C在平面内转动时，线段BE和AD有何关系．（相等，夹角为旋转角）（2）如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三角形是_____________．第（2）题图第（3）题图（3）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若，则BE=． （4）已知P为正△ABC内一点．若∠APB=113°，∠APC=123°，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形．求证：无论P的位置如何，以AP、BP、CP为边都可以构成一个三角形．（5）已知定点P到正△ABC三个顶点的距离分别是4，5，6，求作正△ABC．（6）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：BD=AB+BC． （7）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值（最小值）是多少？*（8）已知等边三角形ABC的边长为，P为三角形内一点，，且．求的值． （9）（07陇南中考）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．（答：猜想AE⊥CG．）图2图1（10）（07资阳中考改编）如图6（1），已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点求证：BP=DP；如图6（2），若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，连接BE、DF，探究BE的DF的关系，并证明你的结论． 练习5．（1）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角到△A'B'C'的位置，其中A'、B'分别是A、B的对应点，B在A'B'上，CA'交AB于D，则∠BDC的度数为（D）．A．40°B．45°C．50°D．60°（2）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，DE=3cm，BF=11cm，则正方形ABCD的面积是（A）．A．49B．36C．25D．16（3）如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△的位置，再沿CB向右平移，使点刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm（4）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．第（1）题图第（2）题图第（3）题图第（4）题图练习6．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋FD．如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°．求证：．五、补充说明1．关于旋转解题：（1）由条件和结论出发，确定旋转的方向、角度．类型I：分析已知，自行构造旋转图形．类型II：已知旋转图形，说明旋转关系．（2）建议以旋转的角度看问题，以全等的方法添加辅助线．B′FEGDCBA2．关于教学要求图形变换是中考的中点和难点，很难一次到位．这个学段是初次接触旋转变换的思想，不是所有学生都能完全理解和熟练使用，要充分体现螺旋式上升的理念，根据不同学生的接受能力，分层逐步落实．3．08年一模分析强化变换意识：分散变集中，复杂变简单，一般变特殊．例1．如图（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）．A．B．3C．2D． 例2．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则的横坐标　　　　　．例3．如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；（2）在方格纸中将经过怎样的变换后，可以与成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．例4．如图，将正方形ABCD以点B为旋转中心顺时针旋转120°，得到正方形A´BC´D´，DO⊥C´A´于O，若A´O=，则正方形ABCD的边长为　　　　．例4图例5．是一个正三角形，与BC平行的直线分别交边AB、AC于D和E，M是线段BE的中点，O是 的外心，猜想CM与OM的位置关系，并对你的猜想加以证明．例6．（08大兴一模）如图24-1，已知点D在AC上，和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：为等腰直角三角形．（2）将绕点A逆时针旋转，如图24-2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．（3）将绕点A逆时针旋转，如图24-3，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）．（4）我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转一定的角度，如图24-4，（1）中的“为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理图24-1图24-2图24-3图24-4