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1、圆锥曲线专项训练双曲线【例题精选】：例1：双曲线的两顶点间的距离为离心率为。答案：2、分析：双曲线中，∴顶点坐标为A（－1，0）B（1，0）∴两顶点间距离为又∴离心率：小结：等轴双曲线的离心率是例2：双曲线的两准线间的距离是焦距的，则此双曲线的离心率为。答案：分析：双曲线两准线间的距离为由题意知：小结：双曲线方程含两个参量a,b，因此确定其方程需要两个独立的条件，但是求离心率则不必先求双曲线方程，只需用a，b，c，间的关系就可导出。例3：已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为，双曲线的方程为答
2、案：分析：∵双曲线的渐近线方程为∴设双曲线方程为又∵双曲线过点（3，4）∴，解得，∴双曲线方程为其中∴离心率：小结：当已知渐近线方程，求双曲线方程时，由于不知道焦点在x轴上还是在y轴上，可设方程为，若求出的k为负值，则说明焦点在y轴上。与双曲线其渐近线的双曲线为时焦点在y轴上。例4：已知双曲线的焦距是6，并且经过P（4，1）点则此双曲线的标准方程是答案：分析：由题意知设双曲线的方程为则∴双曲线的标准方程为又设双曲线的标准方程为则小结：题目当中没有指明焦点在x轴上还是焦点在y轴上，所以两种情况都要考虑。例5：已知双曲线的两个
3、焦点坐标为F1(0,－10),F2(0,10)且一条渐近线方程是，则双曲线的标准方程为答案：分析：∵双曲线的两个焦点为：∴实轴在y轴上，且c=10又∵一条渐近线为∴双曲线的标准方程为小结：本题容易犯的错误是把写为要引起注意。例6：已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是答案：分析：设双曲线的方程为则解得∴双曲线的标准方程为即小结：常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。例7：已知双曲线的一条渐近线方程是，焦点是椭圆与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是答案：分析：椭圆与坐标轴的交点为A(
4、－10 , 0)B(10 , 0)C(0 , －5)D(0, 5)若双曲线以A、B为焦点，设双曲线方程为，有∴双曲线方程为若双曲线以C、D为焦点，设双曲线方程是有：∴双曲线方程为例8：已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是，则此双曲线的离心率为答案：或2分析：∵两条渐近线所夹的锐角为∴渐近线有两种情况。（1）设渐近线方程为（2）设渐近线方程为例9：直线被双曲线，所截得弦的中点坐标是，弦长是。答案：，分析：把①代入②得③设直线与双曲线的两个交点为，的中点坐标为。由方程③知把代入①中得又例10：已知关于x，y的二次方程表示的是双曲
5、线，则m的取值范围是答案：分析：由题意知：例11：已知双曲线方程为，经过它的右焦点F2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是.答案：分析：双曲线方程①平行于渐近线的直线，与双曲线有唯一交点，例12：已知双曲线方程为，过一点P(0，1)，作一直线l，使l与双曲线无交点，则直线l的斜率k的集合是答案：分析：设l的斜率为k，则直线的方程为①将①代入到双曲线方程中得，整理为②若，则可知直线l与双曲线相交。故舍去则方程②是一个一元二次方程且无实数根例13：双曲线右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5∶3，则P
6、点右准线的距离为A．B．C．D．答案：D分析：设双曲线的左，右两个焦点分别为F1、F2，则F1(－5,0),F2(5 , 0)，离心率由题意得知∶设又P点在右支上即根据双曲线的第二定义，设P点到右准线的距离为d，则选D例14：已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点A(4 , －1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。解：圆的方程为，A(4, －1)点在圆上∴过A点的圆的切线方程为又∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，∴渐近线方程为设双曲线的方程为将A(4,－1)的坐标代入得所求的双曲线
7、方程为小结：过圆上一点A(x0 , y0)，的圆的切线方程为.求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用已知条件确定的值。实质是待定系数法。例15：已知双曲线上有一点P，焦点为F1、F2，且，求证：证明：如图由双曲线定义知在中，根据余弦定理有：例16：斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程。解：设直线l的方程为将代入得整理得设直线l与双曲线的两个交点坐标为，由得解得所求的直线方程是小结：在直线上两点，间的距离可用公式表示。例17：已知P为双曲线上的动点，Q是圆上的动点，求的最小值。
8、分析：从圆外一点P向圆上各点连线，则连结P点与圆心C，与圆的交点为Q，线段PQ的长最短，所以只须求的最小值即可。解：设P(x，y)为双曲线。上的任一点，C(0,2)是圆的圆心。，此时也得到最小值。【专项训练】：（45分钟）1、双曲线上一点P，到一个焦点的距离为12，则P到另一个焦点的距离为2、以为渐近线
