高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结

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1、二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组将①式代入②

2、式，得，整理得．此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．从而线段的垂直平分线方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范围是2、（上海理18）已知双曲线，为上的任意点。（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；解；（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和.点到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数.（2）设的坐标为，则，当时，的最小值为

3、，即的最小值为.3、（湖南理已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知，，设，.解法一：（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时，，即.又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即.将代入上式，化简得.当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点，使为常数.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以，，于

4、是.因为是与无关的常数，所以，即，此时=.当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时.故在轴上存在定点，使为常数.解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以..由①②③得.…………..…④.…………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有.整理得.当时，点坐标为，满足上述方程.当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.故点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，.以上同解法一的（II）.4、21．（本小题满分12分）06山东双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的

5、一条渐近线。（1）求双曲线C的方程；（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（Ⅰ）设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线解得，双曲线的方程为（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.，.，，，又，即将代入得

6、，否则与渐近线平行。。解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则,。同理.即。（*）又消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有：代入（*）式得所求Q点的坐标为