数学-绝对值不等式和无理不等式

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1、绝对值不等式和无理不等式知识精要：1、绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上，两点间的距离.。2、与型的不等式的解法。当时，不等式的解集是不等式的解集是;当时，不等式的解集是不等式的解集是;3．与型的不等式的解法。把看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。当时，不等式的解集是不等式的解集是;当时，不等式的解集是不等式的解集是;一．基本解法与思想无理不等式解法：例1.解无理不等式：(1)>2;(2)>2x－4;(3)<2x+1.分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:.(2)因右边2x符

2、号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.解答：(1)化原不等式为:.118(2)化原不等式为:.(3)化原不等式为两个不等式组:.【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.绝对值不等式：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用与的解集求解。例2．解不等式答案为。

3、(解略)（二）、定义法:即利用去掉绝对值再解。例3．解不等式。解:原不等式等价于＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。（三）、平方法:解型不等式。例4．解不等式。解:原不等式118(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0。说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二．分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例5.解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ） 或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）

4、得 x<-7，解（Ⅱ）得5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x>｝即为原不等式的解集．说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分段法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。三、几何法：即转化为几何知识求解。例6．对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为()(A)k<3(B)k<-3(C)k≤3(D)k≤-3分析:设，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是，于是题转化为求的最小值。解:、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离

5、-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。四、典型题型1181、解关于的不等式解：原不等式等价于，即∴原不等式的解集为2、解关于的不等式解：原不等式等价于3、解关于的不等式解：原不等式可化为∴即解得：∴原不等式的解集为4、解关于的不等式解：⑴当时，即，因，故原不等式的解集是空集。⑵当时，即，原不等式等价于解得：118综上，当时，原不等式解集为空集;当时，不等式解集为5、解关于的不等式解：当时，得，无解当，得，解得：当时，得，解得：综上所述，原不等式的解集为，6．解不等式｜

6、x+3｜+｜x-3｜>8．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段A

7、B上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴ 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．118解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如图：y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴ 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4

8、｝．点评 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜

9、2-3x

10、-1＜2(2)

11、3x+5

12、+1＞6x解：(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为

13、3x+5

14、＞6x-13x+5＞6x-1或3x+5＜-6x