无理不等式与绝对值不等式

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1、第48课无理不等式与绝对值不等式●考试目标主词填空1.含有绝对值的不等式①

2、f(x)

3、0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a

4、f(x)

5、>a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)<－a.③

6、f(x)

7、>

8、g(x)

9、f2(x)>g2(x).2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:①②.3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式

10、

11、a

12、－

13、b

14、

15、

16、≤

17、a±b

18、≤

19、a

20、+

21、b

22、,此不等式可推广如下：

23、a1+a2+a3+…+an

24、≤

25、a1

26、+

27、a2

28、+

29、a3

30、+…+

31、an

32、当且仅当a1,a2,a3,…an符号相同时取等号.●题型示例点津归纳【例1】解无理不等式.(1)>2;(2)>2x－4;(3)<2x+1.【解前点津】(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:.(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】(1)化原不等式为:.(2)化原不等式为:.(3)化原不等式为两个不等式组:.【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算

33、.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】解下列含有绝对值的不等式：(1)

34、x2－4

35、≤x+2;(2)

36、x+1

37、>

38、2x－1

39、;(3)

40、x－1

41、+

42、2x+1

43、<4.【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x+2)≤x2－4≤(x+2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x=1,－时,有x－1=0及2x+1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.【规范解答】(1)原不等式可化为:－(x+2)≤x2－4≤x+2.故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为

44、x+1

45、2>

46、2x－1

47、2(2x－1)2－(x+

48、1)2<0.(2x－1+x+1)·(2x－1－x－1)<03x·(x－2)<00

49、成了(n+1)段.【例3】若不等式的解集是(4,m),求a,m的值.【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y=(x≥0)及y=ax+(x≥0)的图像.若y=的图像位于y=ax+图像的上方，则与之对应的x的取值范围就是不等式的解.【规范解答】设y1=,它的图像是半条抛物线;y2=ax+(x≥0),它的图像是经过点(0,),斜率为a的一条射线.不等式的解即当y1=的图像在y2=ax+(x≥0)的图像上方时相应的x的取值范围，因为不等式解集为(4,m),故方程有一个解为4,将x=4代入得:.再求方程的另一个解，得:x=36,即m=36.【解后归纳】用图像法解不等式，须在同

50、一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例4】解不等式

51、log2x

52、+

53、log2(2－x)

54、≥1.【解前点津】从x的可取值范围入手，易知00且2－x>0故00,log2(2－x)<0,故此时原不等式为:log2x－log2(2－x)

55、≥1log2≥log22.故原不等式的解集为.【解后归纳】本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.若关于x的不等式

56、x+2

57、+

58、x－1

59、1的解集是()A.(4,+∞)B.(－∞,4)C.［3,4］D.(3,4)4.不等式的解集是()A.B.C.D.5.不等式<2x+a(a>0)的解集是()A.(0,a)B.C.D.6.已知ε>0,则“

60、x－y

61、<2ε”是“

62、x