充分条件和必要条件学案1

《充分条件和必要条件学案1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　充分条件和必要条件(1)　教学过程一、问题情境请判断下列命题的真假:①若a>b,则ac>bc(假命题);②若x≥0,则x2≥0(真命题).二、数学建构1.推断符号“⇒”的含义例如上述②为真命题,由p经过推理可以得出q,即如果p成立,那么q一定成立,此时可记作“p⇒q”.又例如上述①为假命题,由p经过推理得不出q,即如果p成立,推不出q成立,此时可记作“p⇒/q”.用推断符号“⇒”写出下列命题:(1)若a>b,则a+c>b+c;(2)若x≥0,则x2≥0.2.充分条件与必要条件一般地,如果已知p⇒q,那么就说p是q的充分条件,q是p的

2、必要条件.(1)上述定义中,“p⇒q”即如果具备了条件p,就足以保证q成立,所以p是q的充分条件,这点容易理解.但同时说q是p的必要条件,这是为什么呢?(2)应注意条件和结论是相对而言的,“p⇒q”的等价命题是“?q⇒?p”,即若q不成立,则p就不成立,故q就是p成立的必要条件了.但还必须注意:当q成立时,p可能成立,也可能不成立,即q成立不能保证p一定成立.(3)如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?充分性　说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若p则q”为真(即p⇒q)的形式.“

3、有之必成立,无之未必不成立”.必要性　必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非q则非p”为真(即?q⇒?p)的形式.“有之未必成立,无之必不成立”.3.充要条件　如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1)符号“⇔”叫做等价符号.“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”.(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.说出下列问题中的条件与结论之间的关系:(1)若a>b,则a+c>b+c;(2)若x≥0,则x2≥0;(3)若两个三角形全等,则这

4、两个三角形的面积相等.三、数学运用【例1】　(教材第7页例1)指出下列命题中,p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0;(2)p:两直线平行,q:内错角相等;(3)p:a>b,q:a2>b2;(4)p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.(见学生用书P3)[处理建议]　本题是本节课知识的初步应用.由学生根据以前的数学知识,判断p,q之间的推理关系.[规范板书]　解　(1)因为x-1=0⇒(x-1)(x+2)=0,但(x-1

5、)(x+2)=0⇒/x-1=0,所以p是q的充分不必要条件.(2)因为两条直线平行⇔内错角相等,所以p是q的充要条件.(3)因为a>b⇒/　a2>b2,且a2>b2⇒/　a>b,所以p是q的既不充分又不必要条件.(4)因为四边形是正方形⇒四边形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以p是q的必要不充分条件.[题后反思]　本题直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件.如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.【例2】　(1)若c∈R,则“c=0”是“函数f(x)=ax2

6、+bx+c(a≠0)的图象过原点”的什么条件?(2)对于函数y=f(x),x∈R,“y=

7、f(x)

8、的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的什么条件?(见学生用书P4)[处理建议]　(1)可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;(2)综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明p⇒/q.[规范板书]　解　(1)若c=0,则f(x)=ax2+bx(a≠0),当x=0时,y=f(0)=0,因此函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图象过原点,故充分性成立.(2)因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点,所以f(

9、0)=0,即c=0,故必要性成立.综上,“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点”的充要条件.(2)若y=f(x)是奇函数,则对任意的x∈R,均有f(-x)=-f(x),即

10、f(-x)

11、=

12、-f(x)

13、=

14、f(x)

15、,所以y=

16、f(x)

17、是偶函数,即y=

18、f(x)

19、的图象关于y轴对称,故必要性成立.若y=

20、f(x)

21、的图象关于y轴对称,则不能得出y=f(x)一定是奇函数.如:y=

22、cosx

23、,显然其图象关于y轴对称,但y=cosx是偶函数.故充分性不成立.综上,“y=

24、f(x)

25、的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是

26、奇函数”的必要不充分条件.[题后反思]　由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类:①充分不必要条件,即p⇒q,而q⇒/p