充分条件和必要条件学案2

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1、第3课时　充分条件和必要条件(2)　教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1)符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,

2、所以在判断时应注意:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3)确定条件是结论的什么条件;(4)充要性包含:充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.三、数学运用【例1】　若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M是Q的什么条件?(见学生用书P5)[处理建议]　引导学生用推导符号先表示出它们的关系.[规范板书]　解　由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.[题后反思]　命题的充分必

3、要性具有传递性.【例2】　若不等式

4、x-a

5、<2成立的充分不必要条件是1

6、x-a

7、<2的解集,再由其解集与{x

8、1

9、x-a

10、<2,得a-2

11、x满足条件p},B={x

12、x满足条件q}.①若p为q的充分条件,q为p的必要条件,则A⊆B

13、;②若q为p的充分条件,p为q的必要条件,则B⊆A.【例3】　求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.(见学生用书P6)[处理建议]　要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题,分清两种情况下的条件和结论各是什么.[规范板书]　证明　①充分性:因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px

14、+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.因为x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命题得证.[题后反思]　证明充要条件,实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:(1)原命题和否命题都成立;(2)逆否命题和逆命题都成立;(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化.*【例4】　求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.[处理建议]　要证明必要不充分条件,就是要证明两个方面,一个是必

15、要条件,另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.[规范板书]　证明　必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.[题后反思]　(1)判断p是q的什么条件,常用的方法是验证由p能否推出q,由q能否推出

16、p,对于否定性命题,注意利用等价命题来判断.(2)证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的证明:A⇒B证明了必要性;B⇒A证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:A⇒B证明了充分性;B⇒A证明了必要性.四、课堂练习1.“xy≥0”是“

17、x+y

18、=

19、x

20、+

21、y

22、”的充要条件.2.“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分条件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的

23、充分不必要条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.证明　充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.