第35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形-2018精品之高中数学理黄金100题系列原卷版

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1、第35题应用正弦定理和余弦定理解三角形I．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC中，，解三角形．【解析】由余弦定理得：==-=-0．2444，∴≈104°，∴都是锐角，由正弦定理得，∴=0．6468，∴=40°，∴=36°．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第10页A组第4题（1）．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形．【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，

2、且满足，则下列等式成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A．【例3】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．[来源:学_科_网]【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理，注意确定一解还是两解

3、．【答案】[来源:学+科+网Z+X+X+K]【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【例4】【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为．试题解析：（1）由题设得，

4、即．由正弦定理得．故．（2）由题设及（1）得，即．所以，故．由题设得，即．由余弦定理得，即，得．故的周长为．【例5】【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；[来源:Zxxk.Com]（2）若，的面积为，求．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．试题解析：(1)由题设及，，故．上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．（2）由得，故．又，则．[来源:学。科。网]由余弦定

5、理及得：所以b=2．III．理论基础·解题原理考点一正弦定理及其变形1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（为外接圆半径）2.变形：①，，；②；③；④．考点二余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；；．2．推论：；；．3．变形：；；．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力．【技能方法】1.解三角形中正余弦定理选择（1）已知三角形

6、中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形．（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角（3）若已知三边或已知两边和夹角，用余弦定理解三角形．2．形解得情况，如在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3．注意利用三角形内角和定理：沟通三个内角的关系．4．常用结论：；；；；【易错指导】在利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边

7、对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法．V．举一反三·触类旁通考向1正弦定理应用【例6】【2017课表1，理11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A．B．C．D．【例7】【2017课标3，理15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C=60°，b=，c=3，则A=_________．【例8】【2017北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积．【跟踪训练】1．【2017届广东珠海市高三

8、9月摸底考试数学】在中，角的对边分别为．已知，则角大小为（）A．B．C．或D．或2．【2018辽宁模拟】在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（）A．B．C．D．3．【2018江西级阶段性检测（二）】黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，角的对边分别为，已知，解