2018年高考数学 黄金100题系列 第35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形 理

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1、第35题应用正弦定理和余弦定理解三角形I．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC中，，解三角形．【解析】由余弦定理得：==-=-0．2444，∴≈104°，∴都是锐角，由正弦定理得，∴=0．6468，∴=40°，∴=36°．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第10页A组第4题（1）．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形．【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分

2、别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A．【例3】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理，注意确定一解还是两解．，则△BDC的面积是______

3、，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【例4】【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为．试

4、题解析：（1）由题设得，即．由正弦定理得．故．（2）由题设及（1）得，即．所以，故．由题设得，即．由余弦定理得，即，得．故的周长为．【例5】【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．试题解析：(1)由题设及，，故．上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．（2）由得，故．又，则．由余

5、弦定理及得：所以b=2．III．理论基础·解题原理考点一正弦定理及其变形1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（为外接圆半径）2.变形：①，，；②；③；④．考点二余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；；．2．推论：；；．3．变形：；；．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力．【技能方法】1.解三角形中

6、正余弦定理选择（1）已知三角形中的两角和一角的对边，利用正弦定理解三角形．（2）已知三角形两边和一边的对角可以利用正弦定理解三角形也可以用余弦定理解三角形，注意判定三角（3）若已知三边或已知两边和夹角，用余弦定理解三角形．2．形解得情况，如在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3．注意利用三角形内角和定理：沟通三个内角的关系．4．常用结论：；；；；【易错指导】在

7、利用正弦定理解三角形时，注意判定三角形解得个数，常用大边对大角，判定一解还是两解，要熟记上边表格中解得个数的判定方法．V．举一反三·触类旁通考向1正弦定理应用【例6】【2017课表1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如

8、果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【例7】【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C=60°，b=，c=3，则A=_________．【答案】75°【解析】由题意：，即，结合可得，则．【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，