2018年高考数学 黄金100题系列 第36题 正弦定理和余弦定理的综合运用 文

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1、第36题正弦定理和余弦定理的综合运用I．题源探究·黄金母题【例1】一块四边形土地的形状如图所示，它的三边长分别是50m，60m，70m，两个内角是127°和132°求这个四边形的面积是多少？（精确到0．1m²）【解析】在四边形中，，，，=132°，=127°，连接，根据余弦定理得，=≈14120．6971，∴=118．8305，由正弦定理知，，∴=≈0．4378，∵为锐角，∴≈25．9636°∴∴这个四边形的面积为==≈4476．42（）．答：这个四边形的面积为4476．42．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第18页练习2．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解平

2、面图形及利用面积公式求平面图形的面积．【思路方法】对多边形的面积问题，先将多边形分割成若干个三角形，再用正余弦定理求出这些的两边与夹角，再用三角形面积公式求出各三角形的面积，从而求出多边形的面积．【变式】如图，一架飞机以326km/h的速度，沿北偏东75°的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（人教版A版必修5第20页习题1．2A组第9题）【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上．行驶5km

3、后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高CD．【试题来源】人教版A版必修5第14页例5．【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题．【解析】在△ABC中，，，根据正弦定理得，=≈7．524（km），∴=≈1047（m）．答：山的高约为1047米．【思路方法】先根据图形和已知条件得到∠A，∠B，∠DBC的度数和AB的长度，再利用正弦定理求出BC的长度，利用解直角三角形BCD即可求出山高CD．【变式】一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27°和39°，计算这个海岛的宽

4、度．（人教版A版必修5第19页习题A组第4题)II．考场精彩·真题回放【例3】【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．【答案】【解析】试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则．【例4】【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是．【答案】（，）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D

5、重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．【例5】【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，b=2．【命题意图】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是A

6、B的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】解答此类问题的关键是分析图形特点，通过中间量将未知、已知集中到一个三角形内，再列关系式．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为．试题解析：

7、（1）由已知得，所以．在△ABC中，由余弦定理得，即．解得：(舍去)，．(2)由题设可得，所以．故△ABD面积与△ACD面积的比值为．又△ABC的面积为，所以△ABD的面积为．【例6】【2017江苏，18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度