2021版高中数学必做黄金100题36正弦定理和余弦定理的综合运用（解析版）.docx

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1、第36题正弦定理和余弦定理的综合运用一．题源探究·黄金母题一块四边形土地的形状如图所示，它的三边长分别是50m，60m，70m，两个内角是127°和132°求这个四边形的面积是多少？（精确到0．1m²）【解析】在四边形中，，，，=132°，=127°，连接，根据余弦定理得，=≈14120．6971，∴=118．8305，由正弦定理知，，∴=≈0．4378，∵为锐角，∴≈25．9636°∴∴这个四边形的面积为==≈4476．42（）．答：这个四边形的面积为4476．42．【试题来源】人教版A版必修5第18页练习2．【母题评析】本

2、题考查利用正余弦定理解平面图形及利用面积公式求平面图形的面积．【思路方法】对多边形的面积问题，先将多边形分割成若干个三角形，再用正余弦定理求出这些的两边与夹角，再用三角形面积公式求出各三角形的面积，从而求出多边形的面积．22/22二．考场精彩·真题回放（2020•新全国1山东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】解法一：由可得：，不

3、妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：【命题意图】本类题通常主要考查正弦定理、余弦定理的运用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题、解答题的形式出现，难度较小，往往与正弦定理、余弦定理及其变形、三角函数的公式及图像性质结合考查．【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】利用正弦定理或余弦定理及其变形将条件边角互化，再结合三角函数的公式化简变形。22/22，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,

4、∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.三．理论基础·解题原理考点一利用正（余）弦定理解决平面几何问题若平面图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系．考点二仰角和俯角22/22在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a)

5、)．考点三方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．考点四方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，考查对基础知识的识记与理解，考查考生基本计算能力．考向1利用正弦定理或余弦定理求平面图形中的长度如图，在四边形中，．【温馨提醒】22/22（1）求；（2）求及的长．【解析】（1）．（2），由正弦定理得：，在等腰中，，由余弦定

6、理得：，即（负根舍去），对平面图形中求边长问题，先确定三角形中的已知和所求角，在图形中标出来，然后确定转化的方向，再根据条件和所求合理选择正弦定理或余弦定理，最后理清思路，选用公式求解，注意有时通过参数把不同在一个三角形内的边角关系通过参数集中到一个三角形内，再利用正弦定理或余弦定理建立所求边的关系．考向2求平面图形中角或角的三角函数式的值如图，在四边形中，，，．（1）求的值；【温馨提醒】22/22（2）若，，求的面积．【解析】（1）由，可设，．又∵，，∴由余弦定理，得，解得，∴，，由正弦定理，得．对平面图形中求角或求角的三角

7、函数式的值问题，先确定三角形中的已知和所求角，在图形中标出来，然后确定转化的方向，再根据条件和所求合理选择正弦定理或余弦定理，最后理清思路，选用公式求解．考向3平面图形中的面积问题在平面四边形中，，．【温馨提醒】22/22（1）求的长；（2）若，求的长和四边形的面积．【解析】（1）在中，∵，∴．．由正弦定理知，∴．（2）在中，．由余弦定理知，，∴．，∴四边形的面积．对平面图形的面积问题，常化为若干个三角形面积的和，在利用正弦定理或余弦定理求计算各三角形面积所需要的边之积和其夹角的正弦值．考向4平面图形中的最值问题或范围问题22

8、/22已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】如图，设，的外接圆的半径为1，．由正弦定理得，∴，由，得．∴．【技能方法】本题考查平面向量数量积的运算，解题时先由正弦定理把△ABC的边a，c用含有A的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求