高考专题正弦定理和余弦定理的综合运用-原创精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析 Word版

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1、第36题正弦定理和余弦定理的综合运用I．题源探究·黄金母题【例1】一块四边形土地的形状如图所示，它的三边长分别是50m，60m，70m，两个内角是127°和132°求这个四边形的面积是多少？（精确到0．1m²）【解析】在四边形中，，，，=132°，=127°，连接，根据余弦定理得，=≈14120．6971，∴=118．8305，由正弦定理知，，∴=≈0．4378，∵为锐角，∴≈25．9636°∴∴这个四边形的面积为==≈4476．42（）．答：这个四边形的面积为4476．42．精彩解读【试题来源】人教

2、版A版必修5第18页练习2．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解平面图形及利用面积公式求平面图形的面积．【思路方法】对多边形的面积问题，先将多边形分割成若干个三角形，再用正余弦定理求出这些的两边与夹角，再用三角形面积公式求出各三角形的面积，从而求出多边形的面积．【变式】如图，一架飞机以326km/h的速度，沿北偏东75°的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？（人教版A版必修5第20页习题1．

3、2A组第9题）【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上．行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高CD．【试题来源】人教版A版必修5第14页例5．【母题评析】【解析】在△ABC中，，，根据正弦定理得，=≈7．524（km），∴=≈1047（m）．答：山的高约为1047米．本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题．【思路方法】先根据图形和已知条件得到∠A，∠B，∠DBC的度数

4、和AB的长度，再利用正弦定理求出BC的长度，利用解直角三角形BCD即可求出山高CD．【变式】一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27°和39°，计算这个海岛的宽度．（人教版A版必修5第19页习题A组第4题)II．考场精彩·真题回放【例3】【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形

5、的面积，．【答案】【解析】试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则．【例4】【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是．【答案】（，）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解

6、得BF=，所以AB的取值范围为（，）．【例5】【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，b=2．【命题意图】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，考查基础知识的识记与理

7、解．【难点中心】解答此类问题的关键是分析图形特点，通过中间量将未知、已知集中到一个三角形内，再列关系式．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；(2)利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为．试题解析：（1）由已知得，所以．在△ABC中，由余弦定理得，即．解得：(舍去)，．(2)由题设可得，所以．故△ABD面积

8、与△ACD面积的比值为．又△ABC的面积为，所以△ABD的面积为．【例6】【2017江苏，18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度