2-3控制系统的s域数学模型

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1、2-3控制系统的s域数学模型传递函数方框图信号流图烟台大学光电信息技术学院2.3.1传递函数的定义和性质微分方程是在时间域中描述系统动态性能的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可以求解得出系统的输出响应。优点：比较直观、准确缺点：对高阶方程求解比较困难，而且看不出系统的结构、参数（即阶数和系数）对其解的影响。如果输出响应不合要求，就不知道如何改变系统的结构和参数。且每改变一次结构、参数，就得重新编写和求解微分方程线性定常系统的传递函数G(S)，定义为零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。1.传递函数定义设n阶线性定常系统微分方程为:式中：c

2、(t)----输出量；r(t)----输入量在零状态下对微分方程两边取拉氏变换得：系统传递函数为：例1：求如图所示电路系统的传递函数。解：系统微分方程为：在零状态下对微分方程两边取拉氏变换得：所以系统传递函数为：2.传递函数性质(1)因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以传递函数是复变量s的有理真分式函数，一般满足m≤n，且所有系数均为实数，与系统的结构和参数有关。(2)传递函数是从拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算（线性变换）因此传递函数只适用于线性定常系统。(3)传递函数只取决于系统或元件的参数或结构，与输入量的形式无关，也

3、不反映系统内部的任何信息。(4)传递函数与微分方程具有相同性。在零状态下，将微分方程的d/dt用s置换，即得到传递函数；反之，将传递函数中的s用微分算符d/dt置换，即得到微分方程。例：传递函数为：得s的代数方程：在零初始条件下，用d/dt置换s，得系统微分方程：(5)一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，即单输入、单输出的关系。若输入量、输出量多于一个，则传递函数不止一个。对于多输入、多输出的系统，要用现代控制理论中的传递矩阵来表示。(6)由单位脉冲函数δ(t)引起的零状态响应称为脉冲响应，记做g(t)。g(t)与G(s)是一对拉氏变换对。即：G

4、(s)＝L[g(t)]复频域：C(s)=G(s)R(s)时域：c(t)=g(t)*r(t)——卷积2.3.2传递函数的零、极点系统传递函数为：K*——根轨迹增益zi——零点，用“○”表示；pj——极点，用“×”表示——首1型首1型传函多用于根轨迹法中传递函数还可以用时间常数的形式来表示——尾1型为分子各因子的时间常数为分母各因子的时间常数增益或放大倍数注意：用不同方法解决问题时，用到首1型和尾1型传递函数不同。尾1型传函多用于频率法中传递函数的极点为特征方程的特征根，它决定了系统自由响应的形态，称模态。例：2.3.3传递函数的零、极点对输出的影响极点：零点：自

5、由响应的模态：和设输入为：则：得系统零初始条件响应为：强迫响应自由响应与输入极点有关与系统函数极点有关自由响应系数与输入函数有关。即传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。零点不形成自由运动模态，但影响各模态在响应中所占的比重。例：极点相同，零点不同。其单位阶跃响应分别为：零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合，该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。任何复杂的系统都可以由若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都

6、具有相同的运动规律。2.3.4典型环节及其传递函数当系统具有v阶零值极点及共轭复数零极点时，传递函数可化为：1.比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为：c(t)=Kr(t)t0K——比例系数或传递系数，有时也称为放大系数比例环节的传递函数为:常见的比例环节有：分压器、交流变压器、线性放大器、杠杆、无间隙的传动齿轮组等。惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：2.惯性环节式中T——惯性环节的时间常数；K——比例

7、系数。传递函数：实际工程中，有源、无源RC网络，直流电动机中的励磁回路等，都可以视为惯性环节。积分环节的输出量与输入量的积分成正比。环节的时域方程为：传递函数为:K——比例系数，T——积分时间常数积分环节实例3.积分环节振荡环节的特点是环节中含有两种不同能量形式的储能元件，两者不断进行能量交换，致使输出量呈现出振荡的性质。振荡环节的输出量与输入量之间的关系为：振荡环节环节的传递函数为：T——时间常数，——阻尼系数（0≤＜1）4.震荡环节令n=1/T，则：按方程的不同，有三种微分环节：纯微分环节、一阶微分环节（也叫比例加微分环节）和二阶微分环节。它们的微分

8、方程分别为：5.微分环节微分环节只有零