《复数域数学模型》PPT课件

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1、自动控制原理山东科技大学信息与电气工程学院高宏岩自动控制原理传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，也是经典控制理论中两大分支——根轨迹法和频率法的基础。利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。2.2控制系统的复数域数学模型——传递函数消去中间变量i(t)，得对上式进行拉氏变换求出Uc(s)的表达式若uc(0)=0或式中T=RC2.2.1传递函数的定义和性质零初始条件下，输出量拉氏变换输入量拉氏变换r(t)—输入量，c(t)—输出量R(s)=L[r(

2、t)],C(s)=L[c(t)]1、定义思考：为何要规定零初始条件？规定初始条件为零是否可行？一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在t=0-时，系统输入量以及其各阶导数均为零；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零。零初始条件描述该线性定常系统的传递函数为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为：在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：【例题】试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S)方法一：由前面例题可知描述网络输入输出关系的微分方程：在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得由传递函数定义，得＋－ur(t)＋－

3、uc(t)iRLC方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。解：用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容C的复数阻抗为1/Cs，电感的复数阻抗为Ls。则由分压定律可得：总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。＋－Ur(s)＋－Uc(s)RLS1/Cs【例题】求如图所示有源网络的传递函数Uo(S)/Ui(S)分析：依运算放大器的特点，可认为放大器输入电压u0≈0；又运算放大器输入阻抗很大，可近似认为输入电流i0=0。由上式整理，得-KUiiC0R0R1Uo解：则运用复数阻抗可得：【例题】试求电枢控制

4、直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究到和到的传递函数解：2、传递函数的性质(1)G(s)是复变量s的有理真分式函数，且(2)G(s)只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息(2)G(s)只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息＋－ur(t)＋－uc(t)iRLC(3)G(s)微分方程sd/dtsd/dt(3)G(s)微分方程sd/dtsd/dt(4)G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换(5)传递函数只适用于线性定常系统3.传递函数的表示方法1）表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传

5、递函数，相应的系统为n阶系统。2)零、极点表示方法（根轨迹分析法常用）将有理分式改写为式中：zj为分子多项式的根，称为传递函数的零点；pi为分母多项式的根，称为传递函数的极点（特征根即为极点）；K*＝b0/a0称为根轨迹增益。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图。零点用“”表示，极点用“”表示。jj3)时间常数表示方法将有理分式改写为式中：τj、Ti分别为分子、分母多项式各因子的时间常数；K＝bm/an为放大倍数或增益。传递函数G(s)如果出现复数零点、极点的话，那么复数零点、极点必然是共轭的。上式可改写成一般表示形式为传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运

6、动的模态。2.2.2传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态输入函数零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态,后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关输入信号，零状态响应分别为传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，取决于零点相对于极点的距离。一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯

7、性环节、微分环节、积分环节和振荡环节等。2.2.3典型环节及其传递函数方框图：K1.比例环节（放大环节）特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以认为是比例环节。电位器齿轮传动系统测速发电机TGu(t)ω2.积分环节积分环节其输出量与输入量之间是积分关系。积分环节的微分方程为其传递函数为式中：T称为积分时间常数；K称为