《线性代数考研资料》第五章 特征值与特征向量

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1、专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/第五章特征值与特征向量一、特征值与特征向量1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式可解出【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得于是由有2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可【详解】设，则

2、即QQ987403892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/从而可见必有特征值3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是【分析】因为r(A)=1，所以【详解】因为故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）因此本题应填4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值【分析】利用，把转化为是本题的关键【详解

3、】根据题设有，又于是即QQ987403892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/也即由此可得解此方程组，得又由，有故因此5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B＋2E与相似

4、求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得，从而QQ987403892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/故B＋2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数当时，解，得线性无关的特征向量为所以属于特征值的所有特征向量为，其中为非零的任意常数【详解2】设A的特征值为，对应特征向量为，即由于，所以又因，故有于是有QQ9874

5、03892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/因此，为B＋2E的特征值，对应的特征向量为由于故A的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为当时，对应的一个特征向量为由，得因此，B＋2E的三个特征值分别为9，9，3对应于特征值9的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应与特征值3的全部特征向量为，其中为非零的任意常数6．（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素

6、和均为3，向量，QQ987403892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/是线性方程组Ax＝0的两个解（Ⅰ）求A的特征值与特征向量（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】（Ⅰ）因为是齐次方程组Ax＝0的两个解，即所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数

7、至少是2已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）（Ⅱ）令则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵，则二、相似矩阵与相似对角化QQ987403892华慧考研网http://kaoyan.c2cedu.com/Tel：13401026121010－80352177专业▪权威▪轻松▪

8、快乐　　华慧考研：http://kaoyan.c2cedu.com/1．（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量，（Ⅰ）试确定参数及特征向量所对应的特征值（Ⅱ）问A能