资源描述：
《自考-线性代数第五章特征值与特征向量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章特征值与特征向量§5.1方阵的特征值与特征向量引言纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA．数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?一、基本概念定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量．例：则l=1为的特征值，为对应于l=1的特征向量.一、基本概念定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为
2、A对应于特征值l的特征向量．Ax=lx=lEx非零向量x满足(A−lE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式
3、A−lE
4、=0特征方程特征多项式特征方程
5、A−lE
6、=0特征多项式
7、A−lE
8、二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=
9、A
10、【例1】求矩阵的特征值和特征向量．【解】A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l1=2时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系．kp1（k≠0）就是对应的特征向量．【例2】求矩阵的特征值和
11、特征向量．A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l2=4时，对应的特征向量应满足，即解得基础解系．kp2（k≠0）就是对应的特征向量．【例3】求矩阵的特征值和特征向量．【解】所以A的特征值为l1=−1，l2=l3=2．【例4】求矩阵的特征值和特征向量．当l1=−1时，因为解方程组(A+E)x=0．解得基础解系．kp1（k≠0）就是对应的特征向量．【例5】求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A−2E)x=0．解得基础解系．k2p2+k3p3（k2,k3不同时为零）就是对应的特征向量．二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重
12、根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=
13、A
14、若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组．例6：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值；(2)当A可逆时，1/l是A−1的特征值．结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是p．lk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p．当A可逆时，1/l是A−1的特征值，对应的特征向量仍然是p．二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）
15、．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=
16、A
17、若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组．若l是A的一个特征值，则j(l)=a0+a1l+…+amlm是矩阵多项式j(A)=a0+a1A+…+amAm的特征值．【例7】设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．【解】A*+3A−2E=
18、A
19、A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=j(A)其中
20、A
21、=1×(−1)×2=−2．设l是A的一个特征值，p是对应的特征向量．令则定理：设l1,l2
22、,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．例：设l1和l2是方阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1和p2，证明p1+p2不是A的特征向量．当
23、2En-A
24、=0时，根据特征值的定义知道，2就是A的特征值。当
25、En+A
26、=0时，因为
27、-En-A
28、=(-1)n
29、En+A
30、=0,所以-1是A的特征值。【例8】【练习87】设A为n阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（ ）A．B．C．D．A【练习88】已知，求其特征值与特征向量．特征值，．对于，解齐次线性方程组：基础解系为，对应
31、的全部特征向量为（是任意非零常数）；【解】对于，解齐次线性方程组：基础解系为，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）．【练习89】设A为n阶矩阵，k为正整数，且Ak=O，证明A的特征值均为0.【证明】设λ是矩阵A的特征值，且存在向量α≠0，使得Aα=λα由此可得Akα=λkα又因Ak=O，故Akα=0从而λkα=0，而α≠0，所以λk=0，即λ=0因此A的特征值均为0.【练习90】设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则
32、A
33、=。6
34、A
35、=1×2×3=6§5.2方阵的
