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《线性代数-特征值与特征向量2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、§3相似矩阵1.概念的引入已知矩阵,求.我们可以找到一个可逆矩阵，——相似矩阵使定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P−1AP=B，则称B为矩阵A的相似矩阵，或称矩阵A和B相似．对A进行运算P−1AP称为对A进行相似变换．称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵．定理方阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.二、相似矩阵的性质⑴若是的相似矩阵，则也是的相似矩阵.⑵若与相似，则它们的行列式相等：.⑶若与相似，则与也相似.若与相似，则与也相似.证因为与相似，所以存在可逆矩阵，使于是即因此与相似.二、相似矩阵的性质⑷定理⑴若是的
2、相似矩阵，则也是的相似矩阵.⑵若与相似，则它们的行列式相等：.⑶若与相似，则与也相似.若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同.定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．证明：根据题意，存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B．于是
3、B−lE
4、=
5、P−1AP−P−1(lE)P
6、=
7、P−1(A−lE)P
8、=
9、P−1
10、
11、A−lE
12、
13、P
14、=
15、A−lE
16、．说明定理的逆命题不成立的.如果矩阵和的特征值相同，它们可能相似，也可能不相似.例如设则有其中所以与相似.又设显然与的特征值相同，但是它们不相似.这是因为，如果与相似，存在
17、可逆矩阵，使矛盾！注意：当阶矩阵都能对角化时，若它们有相同的特征值，则它们是一定相似的.若把对角阵的对角元交换次序变为对角阵，则与相似.与单位阵相似的矩阵一定是单位阵.说明推论表明，若，则的对角元必定是的全部特征值.于是在不计较的对角元次序的意义下，由惟一确定.问题：⑴可逆矩阵是不是也由确定？⑵能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵能对角化的“特性”？定理3的逆命题不成立的.若矩阵和的特征值相同，它们可能相似，也可能不相似.定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B
18、)相似．证明：设存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B，则P−1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm−1xm−1+…+c1x+c0，那么P−1j(A)P=P−1(cmAm+cm−1Am−1+…+c1A+c0E)P=cmP−1AmP+cm−1P−1Am−1P+…+c1P−1AP+c0P−1EP=cmBm+cm−1Bm−1+…+c1B+c0E=j(B).说明能对角化最突出的作用表现在的多项式的计算上.若存在可逆矩阵，使(为对角阵)则有这表明的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到.定理：设n阶矩阵L=diag(l1,l2,…,ln)，则l1,l2,…,ln就是L的n个
19、特征值．证明：故l1,l2,…,ln就是L的n个特征值．定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似．若n阶矩阵A和n阶对角阵L=diag(l1,l2,…,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=
20、A−lE
21、，那么j(A)=O（零矩阵）.对阶矩阵，三、方阵可对角化的充要条件1.方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵，使这就称为把方阵对角化.说明如果能找到可逆矩阵，使，则可对角化；如果找不到这样可逆矩阵，则不可对角化.2.定理的引入设有可
22、逆矩阵，使为对角阵.下面回答能否由确定.这表明的第个列向量是的对应于特征值的特征向量，因而由和确定，也就是由确定.由于特征向量不是惟一的，所以矩阵也不是惟一确定的.反过来，是依次与之对应的特征向量，则设矩阵的个特征值为，当可逆，即线性无关时，有这表明方阵能否对角化完全可用的特征值和特征向量来刻画.3.方阵可对角化的充要条件定理4阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论若阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.说明当的特征方程有重根时，不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；但是，有重根时，也有可能能对角化.所以特征值互不
23、相等只是与对角阵相似的充分条件.可逆矩阵P，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)A的特征值对应的特征向量其中定理：n阶矩阵A和对角阵相似当且仅当A有n个线性无关的特征向量推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．例设问为何值时，矩阵能对角化？解析：此例是定理的应用.定理表明：阶矩阵可对角化有个线性无关特征向量.由此可推得另一个充要条件：对的每个不同的特征值，的重数=对应于的线性无关特征向量的个数所以的特征值为1(二重)，.对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；对应于二重特征值1，若能对角化，则要使，则即说明解答此
24、题的关键是
