线性代数 特征值与特征向量.ppt

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1、在数学和工程技术的许多领域，如微分方程、运动稳定性、振动、自动控制、多体系统动力学、航空、航天等等，常常遇到矩阵的相似对角化问题。而解决这一问题的重要工具就是特征值与特征向量。为此，本章从介绍特征值与特征向量的概念和计算开始，进而讨论矩阵与对角形矩阵相似的条件，最后介绍相关的应用问题。第五章特征值与特征向量一.特征值与特征向量的定义和求法§5.1特征值与特征向量定义5.1.1设A=[]是n阶方阵。若存在数λ及非零列向量，或则称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。X=使得注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;2.特征向量必须是非

2、零向量，而特征值不一定非零。下面讨论特征值和特征向量的解法：式子可写成以下线性方程组如果是方程组的非零解，则有是的根。反之，如果有是的根，方程组有非零解。是的特征值的特征向量，是的特征根。定义5.1.2设A为n阶方阵，称为矩阵A的特征矩阵，为矩阵A的特征多项式，=0为矩阵A的特征方程，为矩阵A的特征方程组。综上，可得矩阵的特征值与特征向量的求法：（1)写出矩阵的特征多项式，它的全部根就是矩阵的全部特征值;(2)设是矩阵的全部互异的特征值.将的每个互异的特征值分别代入特征方程组，得分别求出它们的基础解系这就是特征值所对应的线性无关的特征向量。非零线性组合是的属于

3、特征值的全部特征向量，其中为任意常数。例1设求A的特征值与特征向量．解1l=-1当时解方程组（-I-A)X=0得基础解系为：例2证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证再继续施行上述步骤次，就得显然单位矩阵的特征值全是1；零矩阵的特征值全是0；上（下）三角阵的特征值是它的全部主对角元。矩阵的全部特征值的集合常称为的谱。二、特征值和特征向量的性质设，易见，它的特征多项式是关于的次多项式，不妨设为即考虑上式左端行列式的展开式，它除了这一项含有个形如的因式外，其余各项最多含有个这样的因式。于是只能由（5.1.6)产生。比较（5.1.5)两端的系数，得在式

4、（5.1.5)中，令，得另外,根据多项式理论，次多项式在复数域上有个根，不妨设为，又由于的首项系数，于是有比较和，得于是可得特征值的重要性质:由易见，矩阵可逆的充要条件是它的所有特征值都不为零。矩阵的主对角线上的所有元素之和称为矩阵的迹，记作。于是，性质又可写成还可证明，特征值和特征向量还有如下性质：并可证明，的属于特征值的全部特征向量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之为的属于特征值的特征子空间，记为。不难看出，正是特征方程组的解空间。若都是矩阵的属于特征值的特征向量，则其非零线性组合也是A的属于特征值的特征向量。若是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征

5、向量，则有是矩阵的特征值（其中为正整数）；是矩阵的特征值（其中为任意常数）；是的特征值（这里是关于的多项式函数）;当可逆时，是的特征值；并且仍是矩阵的分别对应于特征值的特征向量；例已知n阶可逆方阵A的全部特征值为求的全部特征值及解由特征值的性质知，又已知可逆，从而的全部特征值为由伴随矩阵的性质知，当可逆时，从而有于是，由上述性质中的知，的全部特征向量值为于是三.矩阵的相似定义设A、B是两个n阶矩阵。若存在n阶可逆矩阵P，使得则称Ａ相似于Ｂ，记作Ａ～Ｂ，Ｐ称为由Ａ到Ｂ的相似变换矩阵。相似矩阵具有如下性质：显然，若~，则另外，可以证明，相似矩阵还有以下性质：为任意

6、数。其中均为阶矩阵，为阶可逆矩阵。特别地，当时，有（4）若A~B，则f(A)~f(B)，这里为任一多项式函数。其证明如下：设则由A~B可知，存在可逆矩阵，使得于是即得f(A)~f(B)。若~，则，其证明如下由~可知，存在可逆矩阵，使得于是由上易见，若~，则矩阵，有相同的谱。若~，则~其证明如下：由~可知，存在可逆矩阵取显然可逆，且于是有因此~例５.１.3设是矩阵Ａ的属于特征值的特征向量。证明：是矩阵Ｂ的对应于特征值的一个特征向量。证由已知可得于是又由得，故结论成立。2）求。例５.１.4已知1）求；解1）先求得于是2）由上式得两端同时求次幂，得思考题思考题解答§

7、５.２　矩阵的相似对角化一.矩阵可对角化的条件不妨假设阶方阵可相似于对角阵，即存在可逆矩阵，使得或令并将之代入上式，得即从而有由可逆知,且线性无关从而是的个线性无关的特征向量，是的个特征值。反之，若阶方阵有个线性无关的特征向量，不妨设为，则存在相应的特征值，使得此时，令显然可逆，且有综上，有如下结论定理５．２．１ｎ阶方阵Ａ可相似对角化的充要条件是Ａ有ｎ个线性无关的特征向量。与相对应的对角阵的主对角元正好是的全部特征值，并且的顺序与的顺序相对应.相似变换矩阵由的个线性无关的特征向量作为列构成，即不唯一，因为1）特征向量不唯一；2)的顺序随的顺序改变而改变。根据定

8、理5.2.1，阶方阵的相似对角化问题就