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《线性代数特征值与特征向量作业详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第5章特征值与特征向量5.1特征值与特征向量练习5.11.证明特征值与特征向量地性质3.设是一个多项式.又设是矩阵地一个特征值,是其对应地一个特征向量,则是矩阵多项式地一个特征值,仍是其对应地一个特征向量.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。证由得再由定义得证.2.求矩阵地全部特征值与特征向量.解由得地特征值为（二重）.当时,解齐次方程组得基础解系所以,属于地全部特征向量为（）.当时,解齐次方程组得基础解系16所以,地全部特征向量为（）.3.求平面旋转矩阵地特征值.解由得矩阵地两个特征值为,4.已知是矩阵地一个特征向量.试确定地值及特征向量所对应地特征值.解设所对应地特征
2、值为,则由,即,得解之得.5.设3阶矩阵地三个特征值为,与之对应地特征向量分别为求矩阵.解由假设矩阵可逆,所以166.设3阶矩阵地特征值为,求行列式.解记地特征值为,则,故地特征值为,计算得所以7.设,证明地特征值只能是或.解设是地特征值,则有特征值由于,故其特征值全为零,所以,从而或.8.（1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设为矩阵阵地两个不同地特征值,对应地特征向量分别为和,证明（）不是地特征向量.证（1）设地对应于特征向量地特征值有和,即由此推出,由于,因此.（2）（反证）假设是地特征向量,对应地特征值为,即16由,得移项因线性无关,所以
3、由得,这与矛盾.5.2方阵地对角化练习5.21.证明相似矩阵地性质1～7.性质1相似关系是一种等价关系.即具有：（1）自反性：；（2）对称性：；（3）传递性：.证（1）由,得（2）设,则,（3）设,则,,.性质2设,又,则；证设,则性质3设,又可逆,则可逆且；16证设,由于是可逆矩阵地乘积,所以可逆.且,,性质4设,则；证见正文.性质5设,则与地特征值相同；证由性质4即得证.性质6设,则；证由行列式等于所有特征值地乘积以及性质5即得证.性质7设,则.证由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证.2.设,已知与相似,求.解由和得解和.3.设,（1）求可逆矩阵使得为
4、对角矩阵；（2）计算.解（1）易求得地特征值为,对应地特征向量分别为.令,则16（2）4.设（1）求可逆矩阵,使为对角矩阵；（2）计算；（3）设向量,计算.解（1）按对角化地方法易求得,和（2）由所以16（3）（方法1）先按（2）先计算,再计算..（方法2）先求在基下地分解,然后再求.解得所以在基底下地分解为则5.已知方阵与对角矩阵相似,且是地二重特征值.（1）求与地值.（2）求可逆矩阵使为对角矩阵.解（1）（2）求另一个特征值16解得基础解系（见下面地前两列）,解得基础解系（见下面地第三列）.,6.设矩阵（1）确定地值使可对角化.（2）当可对角化时,求可逆
5、矩阵,使为对角矩阵.解（1）求地特征值可对角化（2）方法同前,习题五1.设,证明地特征值只能是1或2.证设是地特征值,则有特征值16由于,故地特征值全为零,所以从而或.2.设阶矩阵地各行元素之和都等于1,证明矩阵地特征值.提求：,.证设,.3.证明阶Householder矩阵（其中）有个特征值,有一个特征值.提示：方程组有个线性无关地解向量记为,直接验证.又.证方程组有个线性无关地解向量记为,即于是上式说明有个特征值.又上式说明有一个特征值.综上,地特征值为.4.设是矩阵,是矩阵,证明与有相同地非零特征值.特别地,如果,则与地特征值完全相同.证法1由（设）1
6、6立即得证.证法2设是地一个非零特征值,对应地特征向量为,即用左乘上式得只要再证明,上式说明也是地特征值.如果,将其代入式得左边,右边（）矛盾.因此.同理,地非零特征值也是地特征值.5.设与都是阶矩阵,是地特征多项式,证明可逆地充要条件是矩阵和没有公共地特征值.证设为地特征值,则从而于是因此（）不是地特征值与没有公共地特征值.6.设,已知与相似.（1）求；16（2）求可逆矩阵,使.提示：与有相同地特征多项式,比较两个特征多项式地系数.解（1）分别求得与地特征多项式由得,,即,解得（2）由于与相似,所以地特征值与地特征值相同,就是地对角元再求出对应于这些特征值
7、地特征向量分别为令则有.7.设是3阶方阵,是3维列向量,矩阵可逆,且求矩阵.解168.设是阶矩阵,为地分别属于特征值地特征向量,向量满足.（1）证明线性无关.（2）令,求.解（1）设两边左乘上面两式相减线性无关,,代入前面式子.说明线性无关.（2）169.设,求解地特征值为,对应地特征向量分别为令,则从而10.设,.证明当时,可对角化；当时,不可对角化.证设.由知有特征值,对应地特征向量.再设齐次方程组地个线性无关解为,则说明有特征值,对应地特征向量为.综上,地个特征值为,,对应地特征向量为（它们线性无关）.因此,可对角化.相应地对角矩阵为16设.由地特征值
8、全是零（重）.但属于地线性无关地特征向量个数为所以不
