特征值与特征向量考研作业

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1、特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义：(1)定义1：设为阶矩阵，是一个数，如果存在非零的维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(2)定义2：称矩阵称为的特征矩阵，它的行列式称为的特征多项式，＝0称为的特征方程，其根为矩阵的特征值。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2、特征值、特征向量的求法：设是阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量的充分必要条件是是＝0的根，是齐次线性方程组的非零解。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3、特征值、特征向量的基本性质(1)如果

2、是的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数，也是的属于特征值的特征向量。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(2)如果是的属于特征值的特征向量,则当时，也是的属于特征值的特征向量。(3)阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值。(4)(5)(6)设是的特征值，且是属于的特征向量，则(a)是的特征值，；(b)若可逆，则且是的特征值，＝。上述结果在某种意义上可以说：的特征值是，其中是的特征值。20(7)设为n阶矩阵A的不同特征值。分别是属于的特征向量，则线性无关。4、典型例题例1(四/93)设2是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值为

3、()。A、B、C、D、解：，选B练习：1、(一/98)设是阶矩阵的一个特征值，则必有特征值。解：因为，所以的特征值为，从而是的一个特征值。2、(三/08)设三阶矩阵的特征值分别为，则。解：的三个特征值为，所以3、(四/96)设有四阶方阵满足：，，。求的一个特征值。解：由知：是的一个特征值由，知：所以的一个特征值为例2(一/95)设是阶矩阵，满足，，求。解：法一：由，知：而，所以法二：设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则由得，20，即的特征值是1或，而，所以的特征值至少有一个是，因此同类型：(四/90)设方阵A满足，试证明A

4、的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。例3(一、二/08)设为二阶矩阵，是二个线性无关的列向量，，则的非零特征值为。解：由于，所以的一个非零特征值为1。例4(三/02)设为阶实对称矩阵，是可逆矩阵。已知是的属于特征值的特征向量，则属于特征值的特征向量是()。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。A、B、C、D、解：，因此，得选B例5(四/08)设三阶矩阵的特征值互不相同，且，则。解：由知：至少有一个特征值为0又的特征值互不相同，所以只有一个特征值为0。因此例6(一、二、三/05)设是矩阵的二个不同特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充

5、要条件是()。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。A、B、C、D、解：线性无关的充要条件是只有零解由线性无关得：20只有零解的充要条件是选B例7(三/90)设为阶矩阵，是的二个不同特征值，分别是属于的特征向量，试证明不是的特征向量。证明：若是的特征向量，则存在一个数，使得：又所以即，又线性无关，所以与是的二个不同特征值矛盾，所以不是的特征向量。例8(三/04)设阶矩阵，(1)求的特征值和特征向量；(2)求可逆阵，使得为对角矩阵。解：(1)所以1)若，则个特征值均为1，此时，所以是个线性无关的特征向量2)若，则当时，20所以是个线性无关的特征向

6、量当时，得是它的一个基础解系。(2)当时，，且当时，，且例9(三、四/98)设都是非零维向量，且满足条件。记。求：(1)；(2)的特征值和特征向量。20解：(1)(2)设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则所以，又，所以，即的个特征值均为0。由于都是非零向量，所以不妨设。当时所以基础解系为：。从而对应的所有特征向量为：，其中不全为零。√例10(四/03)设可逆，是的一个特征向量，是对应的特征值，求的值。解：由是的属于的一个特征向量，且可逆知：，且即，从而代入得：得：或。√练习：(一、三/99)设矩阵，且20。又设A的伴随矩阵

7、有特征值，属于的特征向量为，求的值。解：由得：，解得：又，所以。√例11(一/92)设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，对应的特征向量分别为：，又(1)将用线性表示；(2)求(为自然数)。解：(1)解则得：(2)(也可以用相似矩阵先求，再求做，但是比较麻烦)√例12(二、三、四/08)设为三阶矩阵，是的分别属于的特征向量，向量满足，(1)证明线性无关；(2)令，求。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解：(1)设(1)所以代入得：(2)(1)(2)得：20由于是的分别属于的特征向量，所以线性无关，因此，再代入(1)式得：，因，所以从而线性无关(

8、2)所以。例　设是一个阶正交矩阵，证明：（1）如果有特征值，则的特征值只能是1或；（2）如果，则是的一个特征值；（3）如果，且是奇数，则1是的一个特征值。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。证明：(1)设是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量，则。从而　　(*)由于是正交矩阵，