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《特征值与特征向量考研复习(1)当当》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、特征值与特征向量考研复习一、特征值和特征向量1、有关定义:(1)定义1：设A为"阶矩阵,2是一个数，如果存在非零的〃维向量Q,使得:忌二加，则称Q是矩阵4的一个特征值，非零向量"为矩阵A的属于(或对应于)特征值久的特征向量。(2)定义2：称矩阵AI-A称为4的特征矩阵，它的行列式
2、刀-糾称为A的特征多项式，
3、/U-A
4、=0称为A的特征方程，其根为矩阵A的特征值。2、特征值、特征向量的求法：设A是斤阶矩阵，则入是A的特征值，。是A的属于2。的特征向量的充分必要条件是入是
5、^I-A=O的根，d是齐次线性方程组(2。/-A)X=0的非零解。3、特征值、特征向量的基本
6、性质⑴如果。是A的属于特征值入的特征向量，则。一定是非零向量，且对于任意非零常数4也是A的属于特征值的特征向量。⑵如果⑷©2是A的属于特征值入的特征向量，则当k.a^k2a20时,k}a}+k2a2也是A的属于特征值入)的特征向量。(3)刃阶矩阵A与它的转置矩阵人厂有相同的特征值。(4)人+入A="(A)=如+如+…ann(5)以2…人=
7、A
8、⑹设2是A的特征值，且Q是A属于2的特征向量，贝IJ(a)是cAk的特征值，cAka=cAka；(b)若A可逆，则QhO,且+是A°的特征值，A-1a=^-aoAA上述结果在某种意义上可以说：/(4)的特征值是/(A),其
9、中久是A的特征值。(7)设人,人，…，九为n阶矩阵A的不同特征值。00，…，％分别是属于入,入，…,九的特征向量，则Q],禺'线性无关°4、典型例题例】（四何设2是可逆矩阵A的-个特征值，则中有一特征值为（）oA.-3-4C.(\6r=3(A_1)26Z=-6r,选B(3J4解:练习：1、（一/98）设久是”阶矩阵A的一个特征值，则（A*）2+E必有特征值解：因为A、
10、A
11、屮，所以A*的特征值为时,从而
12、甘旷+1是（斗）2+e的一个特征值。2、（三/08）设三阶矩阵A的特征值分别为1,2,2,则4犷-£解：4A-'-E的三个特征值为3,1,1,所以4A-'-E
13、=32E,
14、A
15、<0o求A*3、（四/96）设有四阶方阵A满足：
16、V2E+A
17、=0,AA一个特征值。:由V2£+A=0知：-血是A的一个特征由=2E,
18、A
19、<0知：
20、A
21、=-4所以"的一个特征值为圭=2迈例2（—/95）设A是料阶矩阵,满足AAt=E9
22、A
23、<0,求
24、A+E
25、。:法：由AAr=E9
26、A
27、vO知：
28、A
29、=-1=0A4-E
30、=
31、A+A4r
32、=
33、A
34、-
35、(E+A)7=-
36、A+E
37、,所以A+E法二：设2是A的任意一个特征值，。是对应的特征向量，则Aa=Aa由AAt-E得A厂A=E,naTArAa=aTa=>(Aa)TAa-a1a=>AraTa=a7a=
38、>才=1=>2=±1,即A的特征值是1或-1,而
39、A
40、<0,所以A的特征值至少有一个是-1,因此
41、A+E
42、=O同类型：（0/90）设方阵A满足ATA=Ef试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于lo例3（—、二/08）设A为二阶矩阵，少,也是二个线性无关的列向量，Aax=0,Aa2=2a{+a2,则A的非零特征值为解：由于A（2e+a2）=2Aa}+Aa2=2a}+a2,所以A的一个非零特征值为1。4（三/02）设A为料阶实对称矩阵，P是可逆矩阵。已知。是A的属于特征）。值2的特征向量，则（尸仲）厂属于特征值久的特征向量是（C、Pa、P~la解：（P-'A
43、P）P=PtA（P'}）0=20nA（pj）0=2（K）0Aa=Aa9因此G得0=P「a例5（四/08）设三阶矩阵A的特征值互不相同，且
44、A
45、=0,则厂（A）=解：由
46、A
47、=0知：A至少有一个特征值为0又4的特征值互不相同，所以A只有一个特征值为0。因此r（A）=2例6（—、二、三/05）设人,入是矩阵人的二个不同特征值，对应的特征向量分别为G
48、S，则,A（a{+a2）线性无关的充要条件是（）。B、入H0D、A2=0解：+也）线性无关的充要条件是兀01+兀2人（$+。2）=0只有零解兀马+兀2人（0+$）=0O（占+人兀2）0+入兀卫2=0由ax,a2线性无关得
49、：兀］+人兀=°，^2X2=0只有零解的充要条件是入工0选B例7（三/90）设人为77阶矩阵，&,入是A的二个不同特征值，X「X2分别是属于入,入的特征向量，试证明X,+X2不是A的特征向量。证明：若X1+X2是A的特征向量，则存在一个数2,使得:A(X,+X2)=A(X1+X2)又A(Xj+X2)=AX.+AX?二人X
50、+&X2所以A(X1+X2)=/J1Xi+/?2X2即(&一/1)/+(人一/1)*2=0,又/,乂2线性无关,所以人一/1=0,入一/1=0与九；I?是A的二个不同特征值矛盾，所以X
51、+X2不是A的特征向量。厂1b…b、b1…b例8(三/04
52、)设”阶矩阵A=..,⑴
