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1、第四章矩阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的概念与计算二.相似矩阵与可对角化矩阵三.实对称矩阵的特征值与特征向量*四.矩阵级数五.特征值与特征向量的应用历史点滴1743年，法国数学家达朗贝尔（1717-1783）在研究常系数线性微分组的解的问题时提出“特征值”的概念1820’初，法国数学家柯西首先用“特征值”的方法对实二次型进行研究，后据此提出了实对称矩阵的“标准形理论”1878年，法国数学家弗罗贝尼乌斯（1849-1917）首先定义了矩阵的“相似”与“合同”的概念并证明了它们的一些主要性质一.特征值与特征向量的概念与计算(一)概念与计算设A是n阶
2、矩阵,若对于数λ0,存在非零的n维列向量α,使得Aα=λ0α,则称λ0是A的一个特征值,并称α是A的属于特征值λ0的一个特征向量称行列式
3、λE-A
4、为A的特征多项式,且
5、λE-A
6、=λⁿ-Tr(A)λⁿˉ¹+…+(-1)ⁿ
7、A
8、
9、λE-A
10、=0称为A的特征方程,其根为A的特征值(λ0E-A)X=0称为A的特征方程组,其非零解为A的属于特征值λ0的特征向量(二)特征值与特征向量的性质设A是n阶矩阵,则A与A有相同的特征值n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的每个特征值均不为零若λ是可逆矩阵A的特征值,则λ是A的特征值n阶矩阵A的属于不同特征值的特征向量必线性无
11、关n阶矩阵A的所有特征值的和为Tr(A),且其所有特征值的积为
12、A
13、二.相似矩阵与可对角化矩阵定义(相似矩阵)性质:(1)矩阵的相似关系具有反身性﹑对称性和传递性(2)相似矩阵有相同的特征多项式(特征值)、行列式、可逆性(3)相似矩阵的任意矩阵多项式也相似(4)n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量二.相似矩阵与可对角化矩阵(5)设λi是A的一个ni重特征值,则A的属于λi的线性无关特征向量的个数≤ni,i=1,2,…,s.(6)n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条件是对于A的每个ni重特征值λi,特征矩阵(λiE
14、-A)的秩为n-ni,i=1,2,…,s.若尔当标准形任一阶矩阵A都与一个若尔当矩阵JA相似,其中JA的主对角线元素恰好是A的全部特征值,且JA是由s个ni阶若尔当块Jλi构成的准对角矩阵,n=.若尔当块（矩阵）Jλi=ni若尔当（C.Jordan,1838-1921）n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的最小多项式没有重根.三.实对称矩阵的特征值性质：(1)实对称矩阵的特征多项式的根都是实数(2)实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量彼此正交(3)设A为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Q,使得QAQ=QAQ为实对角矩阵正交矩阵Q的求法：(1)求出A的n个
15、线性无关的特征向量α1,α2,…,αn(2)用施密特正交化方法将α1,α2,…,αn化为正交向量组后再单位(标准)化为β1,β2,…,βn,则Q=(β1,β2,…,βn)即为所求.*四.矩阵级数矩阵序列和矩阵级数的收敛性--与常数(函数)序列和常数(函数)级数的收敛定义类似矩阵幂级数的收敛性(1)设A是n阶矩阵,则A→0(k→∞)的充分必要条件是A的任一特征值的模都小于1(2)设A是n阶矩阵,则矩阵幂级数A=E+A+A²+…+A+…收敛的充分必要条件是A→0(k→∞)五.特征值与特征向量的应用污染与工业发展的工业增长模型莱斯利(Leslie)种群模型投入
16、产出数学模型——非负矩阵---完全消耗系数---价值型投入产出数学模型---实物型投入产出数学模型非负矩阵:设A=(aij)n×n,如果
17、aij
18、<1,或者
19、aij
20、<1,则A的所有特征值的模均小于1价值型直接消耗系数矩阵A与对应的实物型直接消耗系数矩阵A˜相似可逆矩阵的特征性质n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是(1)存在n阶矩阵B,使得AB=E.或者(2)存在n阶矩阵C,使得CA=E.或者(3)
21、A
22、0.或者(3’)A的转置矩阵A为可逆矩阵.或(4)
23、A*
24、0.或者(4’)A的伴随矩阵A*为可逆矩阵.或(5)秩(A)=n.或者(7’)A等价于n阶
25、单位矩阵.或(6)A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵.或(7)A可表示为有限个初等矩阵的乘积.或者(8)A的行(列)向量组线性无关.或者(9)对任意的n维列向量β,n元线性方程组AX=β都有唯一解.或者(10)对任意的n×t矩阵B,线性矩阵方程AX=B都有唯一解.或者(11)n元齐次线性方程组AX=0只有零解.或(12)线性矩阵方程AX=0只有零解.或者(13)A的特征多项式的根均不为0.或者(14)A的特征多项式的常数项不为0.或者(15)A的最小多项式的常数项不为0.或者(16)A相似于可逆的上(下)三角矩阵.或者范例讲解设n阶矩阵A、B满
26、足条件r(A)+r(B)
