矩阵特征值和特征向量1

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1、第九章矩阵的特征值与特征向量/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/待求解的问题：矩阵的特征值和特征向量x0，满足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技术中的许多问题例如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题----代数计算中的重要课题。②特征向量:已知A的特征值，求齐次线性方程组的非零解x,（,所以有非零解。）为A对应于的特征向量。如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多项式的根有n个零点（实

2、或复，计重数）：即求解代数方程A的特征值从理论上讲，可利用代数方程求根求出特征值，再利用线性方程组的解法，求出特征向量。缺点：工作量大且特征向量对矩阵的依赖很高；当矩阵阶数较高时，高次代数方程求根的计算稳定性较差。另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A的绝对值最大的特征值（主特征值）及相应的特征向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方法也大致分为两类：迭代法（幂法反幂法）、变换法。关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：Th1.（i=1,…,n）为A的特征值，则有1.2.det(A)=

3、Th2、AB(相似)，即存在可逆阵T，使B=T-1AT,则1.A与B有相同的特征值。2.设x是B的关于的特征向量,则Tx是A的关于的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,园盘定理）：A=(aij),则A的每个特征值必在下述某个园盘中：A的每行元素确定一个圆盘，共n个。Th3表明A的任一特征值必在这n个圆盘中的某一个内。证明：设为A的任一特征值，x0为对应特征向量，则有(I-A)x=0,设

4、xi

5、=max

6、xj

7、,显然xi0,第i个方程：Th3的证明过程表明A的任一特征值必在其对应特征向量模最大的分量的指标所对应

8、的圆盘中。称为A对应于向量x的Rayleigh商。Def1.Ann—实对称阵，0xRn,Th4.Ann—实对称阵，其特征值依次排序为,对应特征向量组成规范正交系，即，则1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknowsoweonlyneedtoprovethereexistsanx0suchthatTakingx=x1

9、,weget3.Proofissimilarto2.§1幂法与反幂法（按模最大与最小特征值的求法）幂法：求模最大的特征值—主特征值及相应特征向量的迭代法。用A的乘幂构造迭代序列，因此称为幂法。条件：ARnn具有线性初等因子A有n个线性无关的特征向量。优点：简单，适合稀疏矩阵。缺点：有时收敛速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependentei

10、gen-vectors.TakeaninitialvectorstarttheiterationsystemConvergenceanalysisofAlgorithm1....isaneigen-vectorofA,andisalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vec

11、torcorrespondingto1收敛速度：主要由来确定，r越小，收敛越快。时收敛可能很慢。2.若有，说明10，以及都不能作为近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用幂法进行计算时，若在计算机中会产生“溢出”或“机器零”的情况（超过计算机字长所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量对应1的特征向量x1的规范化向量Th6.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有§2平面旋转矩

12、阵雅可比法的基本思想:设法用一系列简单的正角阵Rk,逐步地将A化为近似对角阵(非对角元近似化为0)。即选择Rk,令A的全部特征值问题的关键：如何构造正交阵Rk？平面旋转变换雅可比算法:设Ak-1(k