线性代数特征值与特征向量.do

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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程关于作业习题三(B)40务必掌握！习题四(B)20(1)xyz=2y-3zyz=210-301y+z基向量:(210),(-3,0,1)习题四(B)20(2)236924520001000基向量行变换23692450030020-1是基向量(参见引理4.1和例4.15)列变换不是基向量习题四(B)231T2T1T2T=C1=c111+c212,2=c121+c222.C=c11c12c21c22因为此时1,2,1,2是行向量，所以1212=CT或者等

2、价地，第5章特征值与特征向量第1节矩阵的特征值与特征向量量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值.特征植也可以是动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力.在图像的压缩处理中，用到的奇异值分解与矩阵的特征值紧密相连.此外，特征值在求解ODE，分析一个系统的稳定性方面起着重要的作用.§5.1方阵的特征值和特征向量第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量平面上的二次曲线ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的度量性质可以用矩阵的特征向量来刻画。

3、A=abbc第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量计算An如果存在可逆矩阵P使得A=PDP-1，D是对角阵，则An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1...PDP-1=PDnP-1相似对角化第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量P=(p1,p2,…,pn),D=diag(d1,d2,…,dn)A=PDP-1AP=PDA(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)d1d2dn…=(d1p1,d2p2,…,dnpn)Api=dipi,i=1,2,…,n.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量一.特

4、征值,特征向量的概念注：对于一个特征值，其对应的特征向量有无穷多个.(kη)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量Aη=ηn阶方阵非零向量特征值特征向量对应给定一个A，就有一个线性变换xAx，f即f(x)=Ax.f是Rn到Rn上的线性变换，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x),k∈R求特征值的目的：线性变换f(η)=数乘变换0η.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量2.几何意义设A是2×2实矩阵，则A可以看作是R2上的变换.若存在某个非零向量使得A与平行则非零向量就

5、是A的一个特征向量.(=>A=k),第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量1001A=OyxA只有一些特殊的向量才能使得A与平行:一类是x轴上的向量；另一类是y轴上的向量。这些向量构成了A的所有特征向量.AOxcossinsincosA=y只有一些特殊的角才能使得A与平行，所以只有一些特殊的角才能使得A有实的特征值和实的特征向量.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量例1假设n阶方阵A=kE.问A有没有特征值和特征向量？

6、η∈Rn,Aη=(kE)η=kη.k是A的特征值，所有非零η∈Rn是A的对应于特征值k的特征向量.解：第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量Aη=η(EA)η=0

7、EA

8、=0特征方程

9、EA

10、=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann特征多项式特征值特征向量求特征值和特征向量的一般步骤：求解特征方程

11、E–A

12、=0的根0求解(0E–A)x=的非零解(此时方程组一定有无穷多解，只需求出它的一个基础解

13、系η1,η2,…,ηs)k1η1+k2η2+…+ksηs即为A对应于特征值0的特征向量(k1k2…ks≠0)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量例2.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113

14、E–A

15、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例2.求A=的特征值和特征向量

16、.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0即3113

17、E–A

18、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第四章矩阵的特