线性代数课件--12特征值与特征向量

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1、主要内容第十二讲特征值与特征向量特征值与特征向量的概念、求法；特征值与特征向量的性质.基本要求理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法.1一、特征值与特征向量的概念第二节方阵的特征值与特征向量定义设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么这样的数称为方阵的特征值；非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量.注意：关系式是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知必须为方阵.零向量显然满足关系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.2二、特征值与特征向量的求法1.结论的引入若是的特征值，是的对应于的特征向量，则有方程有

2、非零解，且是它的一个非零解是代数方程的根.3以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程.以为变元的次多项式，即称为方阵的特征多项式.42.结论⑴矩阵的特征方程的根就是的特征值.在复数范围内阶矩阵有个特征值(重根按重数计算).⑵设是方阵的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是的对应于特征值的全部特征向量；齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的最大无关组.5例1求矩阵的特征值和特征向量.解析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.的特征多项式所以的特征值为6当时，对应的特征向量应满足即解得得基

3、础解系所以对应于的全部特征向量为7当时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于的全部特征向量为8例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式所以的特征值为9当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为10得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为11例3求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式所以的特征值为12当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为13得基础解系当时，解齐次方程，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).14说明例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区

4、别，在例2中，对应于2重特征值仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值有两个线性无关特征向量.15三、特征值与特征向量的性质⑴设阶矩阵的个(在复数范围内)特征值为则①②(的迹)1.特征值的性质⑵若是的特征值，且，则是矩阵的特征值.证明举例证明举例16⑶若是的特征值，则是矩阵的特征值.一般地，若是的特征值，且则是矩阵的特征值.说明如果，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明⑷若是的特征值，且，则是的特征值.证明特征值的性质17⑸若阶矩阵的秩为，则0一定是的特征值.但是必须注意0不一定是重特征值.证明⑹设为阶矩阵，则与的特征值相同.证

5、明特征值的性质18⑵若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.⑴若是的对应于的特征向量，则也是的对应于的特征向量.2.特征向量的性质⑶设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果互不相等，则线性无关.证明举例19例4设3阶矩阵的特征值为求解析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得的全部特征值，就可求得.此方法提供了求行列式的一个方法，即方阵的行列式=的全部特征值之积.因为的特征值为，全不为0，所以可逆，且则有故的特征值为20因此21例5设和是矩阵的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为和，证根

6、据题设，有析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设是的特征向量，则存在数，使证明不是的特征向量.22因为，所以线性无关，故即有与题设矛盾.因此不是的特征向量.23四、小结设是阶矩阵，若有数和非零列向量，使则称是的特征值，为的对应于的特征向量.矩阵的特征值是特征方程的根.矩阵的对应于特征值的特征向量是齐次方程的非零解.特征值和特征向量的性质.24特征值的性质的证明⑴证因为是的个特征向量，则有即令，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有25这些项中不含比较两端的的系数，可得即证毕特征值的性质

7、的证明26特征值的性质的证明因为是的特征值，⑵证所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以这表明是矩阵的特征向量.证毕27特征值的性质的证明⑶证因为是的特征值，所以存在非零向量使用左乘上式两端得这表明是矩阵的特征向量.类似地，可以证是矩阵的特征向量.证毕28特征值的性质的证明⑷证因为是的特征值，所以存在非零向量使又因为，所以这表明是矩阵的特征向量.证毕29特征值的性质的证明⑸证因为所以而有非零解因此存在非零向量，使这表明0是的特征值.证毕30特征值的性质的证明⑹证根据特征值满足的条件：是特征方程的根，所以要证与的特征值相同，只需证它们的特征方程

8、相同，也即只需证它们的特征多项式相同.因为所以与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.证毕31特征向量的性质的证明证设存在使是方阵的特征值，依次是与之对应的特征向量