线性代数 特征值与特征向量.ppt

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1、第5章特征值与特征向量§5.2方阵的对角化§5.1特征值与特征向量的概念与性质发展阅读5.1Jordan标准形简介发展阅读5.2特征值的估计1§5.1特征值与特征向量的概念与性质矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如：◆工程技术中的振动问题;◆数值计算中的稳定性问题；◆经济学中的主成分分析(PCA);◆微分方程组的求解;◆搜索引擎中的网页排序.2引例1(物种繁衍问题)假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔,此后每月生下一对雌雄小兔.如果养了初生的一对小兔,问k个月后共可得多少对兔子.它满足（令）解设第个月

2、共有对兔子.则数列为上述数列称为斐波那契（Fibonacci）数列.方程(1)称为差分方程.如何求解差分方程(1)？3经计算得通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得由记则4引例2(条件极值问题)设n元函数这里.求f在单位球面上的最大值与最小值.解记对称矩阵,向量,则函数f可写成这种函数是我们下一章要重点学习的二次型.5上述问题就归结为下面的条件极值问题用Lagrange乘数法得如何求出满足上式的数,这将归结矩阵的特征值问题.这时6把(1)改写为定义设,如果存在数和非零向量满足则称数为A的特征值,称非零向量为A的对应于(或属于)特征

3、值的特征向量.由(2)得◆是A的特征值◆是A的属于特征值的特征向量是齐次方程组的非零解一、特征值与特征向量的概念7由代数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数域上恰有n个特征值.约定关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行.记称为A的特征多项式，称为A的特征方程.由前面的分析，特征方程的根即为A的特征值.8解特征方程例1求矩阵的特征值与特征向量.解求特征多项式得特征值为9解方程组，得基础解系：则属于特征值的所有的特征向量为解方程组，得基础解系：则属于特征值的所有的特征向量为10例2求矩

4、阵的特征值.得A的n个特征值为问对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？解由11例3求矩阵的特征值和特征向量.解12A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为13对于特征值，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为14回答问题(测试对特征值与特征向量概念的理解)：(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗?(4)矩阵A是可逆矩阵的充要条件是A的所有特征值______.(5)设，A必有一个特征值为______.(3)设，A有一

5、个特征值为______.设可逆,A的特征值一定不等于______.(6)A的特征值与的特征值有什么关系？(7)一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征向量有几个？15例4证明：一个特征向量只能对应一个特征值.证假设是A的一个特征向量，其对应的特征值有两个和.移项则例5设，证明A的特征值只能是0或1.证设是A的一个特征向量，对应的特征向量为.则由再16二、特征值与特征向量的性质性质1A与有相同的特征值.性质2设n阶矩阵A的n个特征值为，是一多项式，则的n个特征值为且对应的特征向量相同.例如：设2阶矩阵A的两个特征值为，则的

6、两个特征值为17性质3设n阶可逆矩阵A的n个特征值为，则的n个特征值为且对应的特征向量相同.性质4设n阶可逆矩阵的n个特征值为，则18例6设3阶矩阵A的三个特征值为,求解的三个特征值为计算得因此矩阵19解由例7已知矩阵的3个特征值为，得解之求x，y.20定义设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得则称A与B相似，记为A～B.特别地，如果矩阵A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的.§5.2方阵的对角化对A进行的矩阵变换称为相似变换，其中P称为相似变换矩阵.21相似变换的性质(1)相似关系是一种等价关系(满足三条);(2)设A～B

7、,则；(3)设A～B,则;(4)设A～B，则A与B有相同的特征值;(5)设A～B，则;(6)设A～B，则;(7)设A～B，则与相似，其中是一多项式;(8)设A～B，且A可逆,则与相似。22解例1设与相似，求a与b,以及A的特征值.由，比较两多项式的系数得解得A的特征值即为B的特征值，它们是：23由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息.我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵.下面我们重点讨论矩阵可对角化的条件.24定理1n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。证先证必要

8、性.设A可对角化，即存在可逆矩阵P使得记，则于是上式说明，就是对应于特征值的特征向量.由于P是可逆矩阵，故线性无关.把上述证明过程倒推即得充分性的证明.25可验证线性无关，故A可对角化.[见后面注]第1步求特征值即求的基础解系第2步求线性无关的特征向量，例2讨论